Chứng minh rằng:

$x^4-\sqrt{x^5}+x - \sqrt{x}+1>0,\forall x\ge 0$

Đặt t = √x (điều kiện t ≥ 0), khi đó

= t⁸ – t⁵ + t² – t + 1

Ta cần chứng minh : t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 > 0

Cách 1 (theo hướng dẫn ở đề bài).

+ Xét 0 ≤ t < 1 ⇒ t³ < 1 ⇒ 1 – t³ > 0 ; 1 – t > 0

t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = t⁸ + (t² – t⁵) + (1 – t)

                              = t⁸ + t².(1 – t³) + (1 – t)

                              > 0 + 0 + 0 = 0

( vì t⁸ ≥ 0; t² ≥ 0 ⇒ t²(1 - t³) ≥ 0 )

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t³ ≥ 1 ⇒ t³ – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = t⁵.(t³ – 1) + t.(t – 1) + 1

                              ≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay

 (đpcm)

Cách 2:

2.(t⁸ – t⁵ + t² – t + 1) = t⁸ + t⁸ – 2t⁵ + t² + t² – 2t + 1 + 1

                              = t⁸ + (t⁴ – t)² + (t – 1)² + 1.

                              ≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.

(Vì t⁸ ≥ 0 ; (t⁴ – t)² ≥ 0; (t – 1)² ≥ 0)

⇒ t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay  (đpcm)