Hướng dẫn giải

*) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆DCB có:  

AB = CD (giả thiết)

BC chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (c – g – c).

*) Hình b:

Xét ∆EFH và ∆EGH có:  

EF = EG (giả thiết)

EH chung

\(\widehat {FEH} = \widehat {GEH}\) (giả thiết)

Do đó, ∆EFH = ∆EGH (c – g – c)

*) Hình c:

Xét ∆MON và ∆POQ có:  

MO = PO (giả thiết)

NO = QO (giả thiết)

\(\widehat {MON} = \widehat {POQ}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆MON = ∆POQ (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Vì \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\) nên đỉnh B tương ứng với đỉnh F;

Vì AB = FE mà đỉnh B ứng với đỉnh F thì đỉnh A ứng với đỉnh E.

Suy ra đỉnh C ứng với đỉnh D.

Xét tam giác ABC và tam giác EFD có:

AB = FE;

BC = DF;

 \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\).

Do đó, ∆ABC = ∆EFD (c – g – c).

Vậy chỉ có đáp án d) đúng.

Hướng dẫn giải

Vì \(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\) nên đỉnh B tương ứng với đỉnh N;

Vì \(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\) nên đỉnh C tương ứng với đỉnh P.

Suy ra đỉnh A tương ứng với đỉnh M.

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\)

\(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\)

BC = PN

Do đó, ∆ABC = ∆MNP (g – c – g).

Trong bốn đáp án chỉ có đáp án d chính xác.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆BAD có:

AC = BD (giả thiết)  

AB chung

\(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – g – c)

Suy ra, BC = AD (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

\[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]

\[\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BCA}\](1)

Xét tam giác ABD có:

\[\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {BDA} = 180^\circ \]

\[\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {BAD} - \widehat {BDA}\](2)

Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\); \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\).

Xét ∆ABC và ∆ABD có:  

\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\) (chứng minh trên)

AB chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (g – c – g).

Hướng dẫn giải

 Xét tam giác ABE có:

\[\widehat {BAE} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \]

\[\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAE} - \widehat {AEB}\]       (1)

Xét tam giác CDE có:

\[\widehat {DCE} + \widehat {DEC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \]

\[\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DCE} - \widehat {DEC}\] (2)

Mà \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết); \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\).

Xét ∆ABE và ∆CDE có:

\(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\) (chứng minh trên)

AB = CD (giả thiết)

\(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (g – c – g).

Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;

Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ACD và ∆CAB có:

CD = AB (giả thiết)

AC chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆CAB (c – g – c).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ACD = ∆CAB nên \(\widehat {DAC} = \widehat {BCA}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AED có:

\(\widehat {ADE} + \widehat {DAE} + \widehat {AED} = 180^\circ \)

\[\widehat {DAE} = 180^\circ - \widehat {ADE} - \widehat {AED}\] (1)

Xét tam giác BEC có:

\(\widehat {BCE} + \widehat {EBC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \)

\[\widehat {EBC} = 180^\circ - \widehat {BCE} - \widehat {BEC}\] (2)

Mà \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]; \(\widehat {AED} = \widehat {BEC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, \(\widehat {DAE} = \widehat {EBC}\) hay \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\) (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải:

Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

\(\widehat {DAE} = \widehat {EBC}\) (chứng minh trên)

\[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\] (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

\(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}\) (vì \(\widehat {ABE} = \widehat {BAE}\) do \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\))

Suy ra \(\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}\)  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

\(\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}\) (vì \(\widehat {EDC} = \widehat {DCE}\) do \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\))

Suy ra \(\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}\) (5)

Lại có, \(\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {EDC}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\).

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên  

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABC} = \widehat {DEF};\,\,\,\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\widehat {ACB} = \widehat {DFE}\\AB = DE;\,\,BC = EF;\,\,AC = DF\end{array} \right.\)

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{1}{2}BC\).

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = \(\frac{1}{2}EF\).

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

\(\widehat {ABM} = \widehat {DEN}\) (do \(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\) chứng minh trên)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{{BC}}{2}\)

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = \(\frac{{EF}}{2}\)

Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

AB = DE (giả thiết)

BM = EN (chứng minh trên)

AM = DN (giả thiết)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).

Suy ra, \(\widehat {ABM} = \widehat {DEN}\)(hai góc tương ứng) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\).

Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

\(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

 Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {CDA} = 180^\circ \) (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.