Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Giải SBT Toán 11 Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Giải SBT Toán 11 Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Giải SBT Bài 1: Vectơ trong không gian

  • 2767 lượt thi

  • 7 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 2:

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là:

OA+OC=OB+OD.

Xem đáp án

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Giả sử bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành ta có:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Vì A, B, C, D không thẳng hàng nên tứ giác ABCD là hình bình hành.


Câu 4:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA', BB', CC' ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM + BN + CP = a

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Cộng từng vế với vế ta có:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

 Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

và G' là trọng tâm của tam giác MNP nên:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Do đó: Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Hay Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Vì điểm G cố định và Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11 là vectơ không đổi nên G' là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G' cố định.


Câu 6:

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành A1B1C1D1. Về một phía đối với mặt phẳng (α) ta dựng hình bình hành A2B2C2D2. Trên các đoạn A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

AA1AA2=BB1BB2=CC1CC2=DD1DD2=3

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

Xem đáp án

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Lấy điểm O cố định rồi đặt OA1=a1, OB1=b1, OC1=c1, OD1=d1

Điều kiện cần và đủ để tứ giác A1B1C1D1 là hình bình hành là:

a1+c1=b1+d1  (1)

Đặt OA2=a2, OB2=b2, OC2=c2, OD2=d2

Điều kiện cần và đủ để tứ giác A2B2C2D2 là hình bình hành là:

a2+c2=b2+d2  (2)

Đặt OA=a, OB=b, OC=c, OD=d

Ta có 

AA1AA2=3AA1=-3AA2OA1-OA=-3OA2-OAa1-a=-3a2-aa=14a1-3a2.

Tương tự :b=14b1+3b2, c=14c1+3c2, d=14d1+3d2

Ta có :a+c=14a1+3a2+14c1+3c2=14a1+c1+34a2+c2

Và b+d=14b1+3b2+14d1+3d2=14b1+d1+34b2+d2

từ (1) và (2) ta có a1+c1=b1+d1 và a2+c2=b2+d2 nên suy ra

a+c=b+dOA+OC=OB+OD

⇔ tứ giác ABCD là hình bình hành.


Câu 7:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q, Q' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'

a) Chứng minh rằng PP'+QQ'+RR'=0 

b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau.

Xem đáp án

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

a) Ta có : PP'=12AD, QQ'=12DA',RR'=12A'A

Vậy PP'+QQ'+RR'=12AD+DA+A'A=0

b) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác PQR và P'Q'R'.

Theo câu a) ta có: PP'+QQ'+RR'=0

Do đó:

PG+GG'+G'P'+(QG+GG'+G'Q')+(RG+GG'+G'R')=0PG+QG+RG0+3GG'+G'P'+G'Q'+G'R'=00

3GG'=0 G trùng với G'

Vậy hai tam giác PQR và P'Q'R' có cùng trọng tâm.


Bắt đầu thi ngay