Giải SBT Bài 1: Giới hạn của dãy số
-
781 lượt thi
-
12 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Biết rằng dãy số () có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số () với cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?
Vì () có giới hạn là 0 nên || có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, . Do đó, cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy () có giới hạn là 0.
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Câu 2:
Cho biết dãy số () có giới hạn hữu hạn, còn dãy số () không có giới hạn hữu hạn. Dãy số () có thể có giới hạn hữu hạn không?
Dãy () không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại () có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số () và (un) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết () không có giới hạn hữu hạn.
Câu 4:
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi
a) ;
b) ;
c)
d) ;
e)
f)
g)
a) -3;
b) ;
c) 0;
d)
e) 0;
f) −1/2;
g) -1;
Câu 6:
Cho hai dãy số () và (). Chứng minh rằng nếu và với mọi n thì
có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
Vì và với mọi n, nên với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
Câu 8:
Cho dãy số () xác định bởi công thức truy hồi
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.
Ta có
Dự đoán
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).
Từ đó
Câu 10:
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội
Đáp số:
Câu 11:
Cho dãy số () có số hạng tổng quát là với . Tìm giới hạn của ()
Dãy số: với , là một cấp số nhân vô hạn, công bội
Vì với nên () là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Hơn nữa,
Do đó,
Câu 12:
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a = 34,121212... =