8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1:

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã). Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n)

b. Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10^-6 g.

Xem đáp án

a. Sau 1 chu kì bán rã:

Sau 2 chu kì bán rã:

Sau 3 chu kì bán rã:

…

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã :

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10^-6 g = 10^-9 kg

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Câu 2:

Biết dãy số u_n thỏa mãn $| u_{n} - 1 | < \frac{1}{n^{3}}$ với mọi n. Chứng minh rằng: lim u_n = 1.

Xem đáp án

Lời giải:

Đặt v_n= u_n – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại thỏa mãn

⇒ với mọi n ≥ n₀.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Câu 3:

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6 n - 1}{3 n + 2}$ ;

b) $\lim \frac{3 n^{2} + n - 5}{2 n^{2} + 1};$

c) $\lim \frac{3^{n} + 5 . 4^{n}}{4^{n} + 2^{n}};$

d) $\lim \frac{\sqrt{9 n^{2} - n + 1}}{4 n - 2} .$

Xem đáp án

Lời giải:

v

Câu 4:

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi u_n là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u₁, u₂, u₃ và u_n

b. Tính lim S_n với S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n

Xem đáp án

Lời giải:

a. Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a²

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là $\frac{1}{2}$ ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là: $S_{1} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$