Khi nào ta có thể so sánh hai phân số bằng phương pháp so sánh với phân số trung gian?

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Lý thuyết: 

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ: So sánh hai phân số:  $\frac{3}{7}$ và  $\frac{2}{5}$

Lời giải:

Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{3}{7}$ và $\frac{2}{5}$:

$\frac{3}{7}=\frac{3\times 5}{7\times 5}=\frac{15}{35};\frac{2}{5}=\frac{2\times 7}{5\times 7}=\frac{14}{35}$

Vì $\frac{15}{35}>\frac{14}{35}$ nên $\frac{3}{7}>\frac{2}{5}$

II. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: So sánh hai phân số khác mẫu số

Phương pháp:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Ví dụ: Trong hai phân số $\frac{7}{3}$ và $\frac{5}{8}$, phân số nào nhỏ hơn?

Lời giải:

Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{7}{3}$ và $\frac{5}{8}$:

$\frac{7}{3}=\frac{7\times 8}{3\times 8}=\frac{56}{24};\frac{5}{8}=\frac{5\times 3}{8\times 3}=\frac{15}{24}$

Vì $\frac{56}{24}>\frac{15}{24}$ nên $\frac{7}{3}>\frac{5}{8}$.

Vậy trong hai phân số$\frac{5}{8}$ và $\frac{7}{3}$, phân số $\frac{5}{8}$ nhỏ hơn.

Dạng 2: So sánh phân số có cùng tử số (khác mẫu)

Phương pháp:

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\frac{13}{9}$ và $\frac{13}{11}$.

Lời giải:

Cách 1:

Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{13}{9}$ và $\frac{13}{11}$:

$\frac{13}{9}=\frac{13\times 11}{9\times 11}=\frac{143}{99};\frac{13}{11}=\frac{13\times 9}{9\times 11}=\frac{117}{99}$

Vì  $\frac{143}{99}>\frac{117}{99}$ nên $\frac{13}{9}>\frac{13}{11}$.

Cách 2:

Hai phân số  $\frac{13}{9}$và $\frac{13}{11}$ có cùng tử số nên ta đi so sánh mẫu số của hai phân số đó. Do phân số $\frac{13}{9}$ có mẫu số nhỏ hơn mẫu số của phân số $\frac{13}{9}$ nên $\frac{13}{9}>\frac{13}{11}$.

Dạng 3: Sắp xếp

Phương pháp:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau đây theo thứ tự từ bé đến lớn.

$\frac{2}{3};\frac{3}{7};\frac{1}{4}$

Lời giải:

Quy đồng mẫu số các phân số $\frac{2}{3};\frac{3}{7};\frac{1}{4}$

$\frac{2}{3}=\frac{2\times 7\times 4}{3\times 7\times 4}=\frac{56}{84};\frac{3}{7}=\frac{3\times 3\times 4}{7\times 3\times 4}=\frac{36}{84};\frac{1}{4}=\frac{1\times 7\times 3}{4\times 7\times 3}=\frac{21}{84}$

Vì $\frac{21}{84}<\frac{36}{84}<\frac{56}{84}$ nên $\frac{1}{4}<\frac{3}{7}<\frac{2}{3}$.

Vậy các phân số đã cho được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là: $\frac{1}{4};\frac{3}{7};\frac{2}{3}$