Hệ thống bơm nước PAT hoạt động được nhờ vào

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$  độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất

Một mảnh đất hình chữ nhật  có chiều dài , chiều rộng  được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn  (M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30 m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

$4{\cos }^{3}x-\cos 2x+\left(m-3\right)\cos x-1=0$ có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ ?

Cho m là số thực, biết phương trình $z^2+mz+5=0$  có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$  với $u_1=4$ , công sai $d=\frac{48}{25}$ . Giá trị của biểu thức $S=\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{u_{50}}+\sqrt{u_{51}}}$ là

Lớp 11A2 có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học sinh lớp 11A2 gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớn phó văn thể mĩ, hai thư kí. Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là

Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu, các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm?

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{22}$. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\left(P\right)x+2y-2z+5=0$  và 2 mặt cầu$\left(S_1\right):{\left(x-2\right)}^2+y^2+{\left(z+1\right)}^2=1$

,$\left(S_2\right):{\left(x+4\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=4$ . Gọi M,A,B lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và hai mặt cầu $\left(S_1\right), \left(S_2\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất củaS=MA+MB .

Với hai số phức $z_1$  và $z_2$  thỏa mãn $z_1+z_2=8+6i$  và $\left|z_1-z_2\right|=2$ , tìm giá trị lớn nhất của $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ .

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt $\alpha$  là góc giữa AB và đáy. Tính $\tan \alpha$  khi thể tích khối tứ diện $O{O}^{\text{'}}AB$  đạt giá trị lớn nhất.

Phương án nào sau đây không phải là một chi tiết cấu thành của hệ thống trạm thu di động tín hiệu vệ tinh?

Nhóm nghiên cứu đã tiến hành phân loại phế phẩm mía và lúa nhằm mục đích gì?