Câu hỏi:

18/07/2024 416

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có:

$S A = S C \Rightarrow Δ S A C$ cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ A C$

Tam giác SBD vuông cân tại S $\Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Trong (SBD), gọi $I = M N \cap B D$

Đặt $\frac{S M}{S B} = x, \frac{S N}{S D} = y (0 < x, y < 1)$

Ta có: $\frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x \Rightarrow \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} x$
$\frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A D C}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} y \Rightarrow \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} y$
$\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x + y}{4} (1)$

Ta lại có: $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B D}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S D} = x y \Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2}$
$\frac{V_{S . M N E}}{V_{S . B D C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} x y \Rightarrow \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C C}} = \frac{x y}{4}$
$\Rightarrow \frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y}{2} + \frac{x y}{4} = \frac{3 x y}{4} (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x + y}{4} = \frac{3 x y}{4} \Leftrightarrow x + y = 3 x y$
$\Leftrightarrow x = (3 x - 1) y \Leftrightarrow y = \frac{x}{3 x - 1} (x \neq \frac{1}{3})$

Do $x, y > 0 \Rightarrow 3 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Khi đó ta có $\frac{V_{S . A M N E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{4} (x + \frac{x}{3 x - 1})$

Xét hàm số $f (x) = x + \frac{x}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$ ta có:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x - 1 = 1 \\ 3 x - 1 = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ x = 0 (k t m) \end{matrix}$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\min V_{S . A M N E} = \frac{1}{4} . \frac{4}{3} V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}$

$\Rightarrow \max V_{A B C D N E M} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D}$
Ta có: $Δ A B D$ đều cạnh 2 $(A B = A D, ∠ B A D = 60^{0}) \Rightarrow S_{A B D} = \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{A B C D} = 2 \sqrt{3}$

Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên
$S O = \frac{1}{2} B D = 1$
$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .1.2 \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Vậy $V_{0} = \frac{2}{3} V_{S . A B C D} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$
Đáp án cần chọn là: D

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{25}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{I A}{I S}$ ?

Xem đáp án » 07/09/2022 465

Câu 2:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Xem đáp án » 07/09/2022 186

Câu 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60⁰. Thể tích hình chóp là:

Xem đáp án » 07/09/2022 180

Câu 4:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 07/09/2022 174

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Xem đáp án » 07/09/2022 172

Câu 6:

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

Xem đáp án » 07/09/2022 170

Câu 7:

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

Xem đáp án » 07/09/2022 166

Câu 8:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 07/09/2022 166

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, $A D = 2 B C$ . Gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho $\frac{3 A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = 5$ (E,F không trùng với A), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là:

Xem đáp án » 07/09/2022 160

Câu 10:

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 07/09/2022 156

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có $A B = B C \sqrt{5}$ , $A C = 2 B C \sqrt{2}$ , hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ , trong đó $a, b \in ℕ^{*}, a$ là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

Xem đáp án » 07/09/2022 156

Câu 12:

Cho khối lăng trụ tam giác đều $A B C . A_{1} B_{1} C_{1}$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của $A A_{1}$ . Thể tích khối chóp $M . B C A_{1}$ là:

Xem đáp án » 07/09/2022 154

Câu 13:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\frac{3}{4}$ thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

Xem đáp án » 07/09/2022 149

Câu 14:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $4 a^{3}$ , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng $a^{2}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Xem đáp án » 07/09/2022 148

Câu 15:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Xem đáp án » 07/09/2022 145

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đọc hiểu chủ đề đời sống

10 đề 5020 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề y học

11 đề 2900 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề môi trường

8 đề 2536 lượt thi Thi thử
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 2211 lượt thi Thi thử
Mệnh đề quan hệ

2 đề 2157 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề công nghệ

8 đề 1975 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 1947 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 1717 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề khám phá khoa học

6 đề 1545 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1517 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

A. V0=239

B. V0=8321

C. V0=237

D. V0=439

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$