Cho tam giác ABC nhọn. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết \(\widehat {ABC} = 75^\circ \), số đó góc ADC là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DABC có O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác nên O cách đều ba đỉnh A, B, C.

Do đó OA = OB = OC.

• Tam giác ABO có OA = OB nên DABO cân tại O.

Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) hay \(\widehat {OAB} = \widehat {DBA}\).

• Ta có OA = OC (chứng minh trên) và OB = OD (giả thiết)

Suy ra OA = OD nên tam giác OAD cân tại O.

Do đó \(\widehat {OAD} = \widehat {ODA}\)hay \(\widehat {OAD} = \widehat {BDA}\).

• Xét DABD có \(\widehat {DAB} + \widehat {BDA} + \widehat {DBA} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat {OAB} + \widehat {OA{\rm{D}}} + \widehat {BDA} + \widehat {DBA} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {OAB} = \widehat {DBA}\), \(\widehat {OAD} = \widehat {BDA}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(2(\widehat {BDA} + \widehat {DBA}) = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {BDA} = 90^\circ - \widehat {DBA}\)          (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\widehat {BDC} = 90^\circ - \widehat {DBC}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BDA} + \widehat {BDC} = 180^\circ - (\widehat {DBA} + \widehat {DBC})\)

Hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BDA} + \widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {CBA} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \).

Do đó \(\widehat {ADC} = 105^\circ \)

Vậy ta chọn phương án C.