Cho tam giác ABC cân tại A. Từ BE và CF lần lượt vuông góc với AC và AB (E ∈ AC, F ∈ AB). Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là trung điểm của BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Xét ∆ABE và ∆ACF, có:

$\widehat{BEA}=\widehat{CFA}=90°$

AB = AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\widehat{BAE}$ là góc chung

Do đó ∆ABE = ∆ACF (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

+) Xét ∆AEH và ∆AFH, có:

$\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=90°$

AH là cạnh chung.

AE = AF (chứng minh trên)

Do đó ∆AEH = ∆AFH (cạnh góc vuông – cạnh huyền)

Suy ra $\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$ (cặp góc tương ứng) và EH = FH (cặp cạnh tương ứng)

Ta có $\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$ nên AH là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên phát biểu B đúng.

+) Xét ∆BFH và ∆CEH, có:

$\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90°$

HF = HE (chứng minh trên)

$\widehat{BHF}=\widehat{CHE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆BFH = ∆CEH (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra HB = HC

Do đó H thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác ta có AB = AC nên A cũng thuộc trung trực của BC.

Suy ra AH là đường trung trực của BC nên AH đi qua điểm D khi đó A, H, D thẳng hàng hay ta cũng có HD là trung trực của BC. Do đó phát biểu A đúng và C đúng.

Vậy chọn đáp án D.