Cho ∆ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B và góc C cắt cạnh AC, AB lần lượt ở D và E. Đoạn thẳng có độ dài bằng đoạn thẳng BE là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ∆ABC cân tại A (giả thiết) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

BD là tia phân giác góc B nên $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

CE là tia phân giác góc C nên $\widehat{DCE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Do đó $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=\widehat{DCE}=\widehat{ECB}$

Xét ∆BEC và ∆CDB có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

BC là cạnh chung

$\widehat{ECB}=\widehat{DBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆BEC = ∆CDB (g.c.g)

Do đó BE = CD (hai cạnh tương ứng)

Mà BE + EA = AB; CD + DA = AC

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra EA = DA ⇒ ∆AED cân tại A ⇒ $\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ (tính chất)

Mà $\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AED}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABC}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$ mà hai góc đồng vị nên ED // BC.

Suy ra $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}$ (chứng ninh trên)

Suy ra $\widehat{EDB}=\widehat{EBD}$

Do đó tam giác EBD cân tại E (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra EB = ED

Vậy BE = CD = ED.