Biểu thức $\sqrt{x}$ có nghĩa khi:

1. Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^2=a.$

Ví dụ 1. Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho $x^2=16.$ 

Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4.

b. Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$, số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 2.

- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai.

- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.

- Số 15 có hai căn bậc hai là $\sqrt{15}$ và $-\sqrt{15}$.

2. Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ 3. Căn bậc hai số học của 36 là $\sqrt{36}$ (= 6).

- Căn bậc hai số học của 7 là $\sqrt[]{7}$.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu $x=\sqrt{a}$ thì x ≥ 0 và $x^2=a;$ 

Nếu x ≥ 0 và $x^2=a$ thì $x=\sqrt{a}$.

- Ta viết $x=\sqrt{a}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0,\\ x^2=a.\end{array}\right.$

Ví dụ 4. Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324.

Lời giải:

Ta có:

• $\sqrt{25}=5$ vì 5 > 0 và $5^2=25;$

•  $\sqrt{81}=9$ vì 9 > 0 và $9^2=81;$ 

•  $\sqrt{225}=15$ vì 15 > 0 và ${15}^2=225$;

•  $\sqrt{324}=18$ vì 18 > 0 và ${18}^2=324.$ 

b. Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Ví dụ 5. 

- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3.

- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.

3. So sánh các căn bậc hai số học

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ 6. So sánh:

a) 3 và $\sqrt[]{11}$;

b) 5 và $\sqrt[]{15}$.

Lời giải:

a) Vì 9 < 11 nên $\sqrt[]{9}<\sqrt[]{11}$.

Vậy $3<\sqrt{11}$.

b) Vì 25 > 15 nên $\sqrt{25}>\sqrt{15}$.

Vậy $5>\sqrt{15}$.