Cho đường thẳng d: $y=\frac{1}{5}x-2$ và đường thẳng d’: y = ax+2. Hệ số góc của đường thẳng d’ là gì để d’ vuông góc với d?

1. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, $\widehat{Max}$ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x + 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A (0; 3).

+ Cho y = 0 thì x = −3 ta được điểm B (−3; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 3); B(−3; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox là $\alpha$, ta có $\widehat{ABO}=\alpha$.

Xét tam giác vuông OAB, ta có $\tan \alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{3}{3}=1$ (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 3)

Khi đó số đo góc α là α = 45°.

Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 45°.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

Ví dụ 2. Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0.

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.

Vậy a = 1, b = 0.