Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\frac{x}{3{\left(x-y\right)}^2};\frac{y}{x-y}$?

1. Khái niệm

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Ta thường kí hiệu “mẫu thức chung” bởi MTC.

2. Tìm mẫu thức chung

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

• Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

• Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

 +  Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

 + Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

Ví dụ 1. Tìm mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2}{3x^2-6x+3}$.

Hướng dẫn giải:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

$3x^2 – 6x + 3 = 3(x^2 – 2x + 1) = 3{(x – 1)}^2$

$7x^2 – 7x = 7x(x – 1)$

+ Chọn mẫu thức chung:

Mẫu thức chung của số nguyên là BCNN(3, 7) = 21.

Mẫu thức chung của lũy thừa x là x.

Mẫu thức chung của lũy thừa (x – 1) là ${(x-1)}^2$ .

Do đó: MTC = $21x{(x – 1)}^2$.

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức đã cho là $21x{(x – 1)}^2$.

3. Quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 2. Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{2}{3x^2-6x+3}$ và $\frac{3}{7x^2-7x}$ .

Hướng dẫn giải:

Ở ví dụ 1 trên ta đã tìm được mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2}{3x^2-6x+3}$ và $\frac{3}{7x^2-7x}$  là $21x{(x – 1)}^2$.

+ $Vì 21x{(x – 1)}^2 = 7x . 3(x^2 – 2x + 1) = 7x . (3x^2 – 6x + 3)$ nên nhân tử phụ của mẫu thức thứ nhất là 7x, ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với nhân tử phụ 7x, ta được:

$\frac{2}{3x^2-6x+3}$ $=\frac{2.7x}{\left(3x^2-6x+3\right).7x}=\frac{14x}{21x{\left(x-1\right)}^2}$ .

+ $Vì 21x{(x – 1)}^2 = 3. 7x.(x – 1) . (x – 1) = 3(x – 1) . (7x^2 – 7x)$ nên nhân tử phụ của mẫu thức thứ hai là 3(x – 1), ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với nhân tử phụ 3(x – 1), ta được:

$\frac{3}{7x^2-7x}$$=\frac{3.3\left(x-1\right)}{\left(7x^2-7x\right).3\left(x-1\right)}=\frac{9\left(x-1\right)}{7x\left(x-1\right).3\left(x-1\right)}$$=\frac{9\left(x-1\right)}{21x{\left(x-1\right)}^2}$.