Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB; BC; CD và DA. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì 

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ:

Tổng quát: ABCD là hình vuông $\iff$$\left\{\begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^o\\ AB=BC=CD=DA\end{array}\right.$

Nhận xét:

• Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

• Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

• Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Ví dụ:

Tứ giác ABCD là hình vuông.

Khi đó, ABCD là hình chữ nhật có AB = BC = CD = DA.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Ví dụ:

Tứ giác ABCD là hình vuông. Khi đó:

+ AB = BC = CD = DA (tính chất hình hình chữ nhật).

+ $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={90}^o$ (tính chất hình hình chữ nhật).

+ Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (tính chất hình thoi).

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O. Biết và OM = ON = OP = OQ. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nên MNPQ là hình bình hành.

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau.

Nên MNPQ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O.

Vậy MNPQ là hình vuông.