(Yêu cầu: HS chỉ vẽ hình, không phải viết GT, KL)

Cho ΔABC vuông tại A. Đường trung tuyến AN. Điểm M là hình chiếu vuông góc của N trên AB. Vẽ điểm Q đối xứng với với điểm N qua AC. Gọi giao điểm của NQ và AC là P.

1) Các tứ giác AMNP, ANCQ là hình gì? Vì sao?

2) AN cắt MP tại điểm E. Chứng minh: Ba điểm B, E, Q thẳng hàng.

3) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCQ là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

1) Xét tứ giác AMNP, có: \(\widehat {MAN} = \widehat {AMN} = \widehat {APN} = 90^\circ \)

Do đó tứ giác AMNP là hình chữ nhật.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NP \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow NP//AB\)

Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của BC và NP // AB

Suy ra P là trung điểm của AC.

Vì N đối xứng với Q qua AC nên P là trung điểm của AC.

Xét tứ giác ANCQ có hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường

Suy ra tứ giác ANCQ là hình bình hành

Mà có \(AC \bot NQ\) (gt)

Vậy tứ giác ANCQ là hình thoi

2) Ta có AMNP là hình chữ nhật có AN cắt MP tại E

Suy ra E là trung điểm của AN và MP

Xét tam giác ABC có: N, P là trung điểm của BC, AC

Nên NP là đường trung bình trong tam giác ABC.

\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB\)

mà \(NP = \frac{1}{2}NQ\) (vì P là trung điểm của NQ)

⇒ AB = NQ

Xét tứ giác ABNQ có: NQ = AB (cmt) và NQ // AB (vì NP // AB)Suy ra ABNQ là hình bình hànhmà E là trung điểm của AN (cmt)Nên E cũng là trung điểm của BQVậy 3 điểm B, E, Q thẳng hàng

3) Vì ABNQ là hình bình hành nên AQ // BN

Hay AQ // BC

Do đó ABCQ là hình thang.

Vì ABNQ là hình thoi nên CA là phân giác của góc QCN

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ACQ} = \frac{1}{2}\widehat {QCB}\) hay \(\widehat {QCB} = 2\widehat {ACB}\)

Để hình thang ABCQ là hình thang cân thì \(\widehat {ABC} = \widehat {QCB}\)

Mà \(\widehat {QCB} = 2\widehat {ACB}\)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat {ACB}\)

Xét ΔABC vuông tại A có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow 2\widehat {ACB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow 3\widehat {ACB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \)

Vậy tam giác ABC có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) thì ABCQ là hình thang cân.