Với $a\ge 0,b\ge 0,2a\ne 3b,$ rút gọn biểu thức $\frac{2a+3b}{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}+\frac{\sqrt{8a^3}-\sqrt{27b^3}}{3b-2a}$ ta được?

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14}$.

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$  (với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}}$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b)  $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$ với a > 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right|$.

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$ với a > 0.