Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết AB:AC = 3:4 và AH = 6 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CH
A. CH = 8
B. CH = 6
C. CH = 10
D. CH = 12
Đáp án A
Ta có AB:AC = 3:4, đặt AB = 3a; AC = 4a (a > 0)
Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông AHC ta có:
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ta có:
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?
Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?
Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài 4m . Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn ” là (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15 cm, AB = 12 cm. Tính AC, góc B
Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = AB. Biết đường cao AH = 10. Diện tích tam giác vuông đó là?
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8, . Diện tích của tam giác đó là?
Cho góc nhọn biết rằng cos - sin = 1/3 . Giá trị của sin.cos là
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12 cm, . Tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH BC (H thuộc BC). Cho biết AB:AC = 3:4 và BC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BH
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là và có độ cao là 2,1 m. Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng AB = 4cm; AC = 5cm. Giá trị của
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AB2 = BC . BH; AC2 = BC . HC.
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AH2 = BH . HC.
Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: AB . AC = BC . AH.
Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.
Ta có: .
3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có .
Khi đó: ; ; ;
Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:
0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có
Khi đó: ; ; ;
Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh .
Lời giải:
Vì AH là đường cao của ∆ABC nên hay (1)
Mà MN là đường trung bình của ∆AMN nên:
+ AB = 2AM; AH = 2AN.
+ MN // BH (2)
Từ (1) và (2) suy ra (tính chất từ vuông góc đến song song).
Xét ∆AMN vuông tại N (vì ) nên: .
Xét ∆ACH vuông tại H nên: .
Ta thấy: .
Do đó (đpcm).
4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có .
Khi đó, α + β = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).
Ta có: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 16, . Tính độ dài AB.
Lời giải:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: .
Hay .
Suy ra .
Vậy AB = 8 (đvđd).
Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " ^ " đi.
Ví dụ 6. Góc A là góc nhọn thì ta viết sin A thay cho .
5. Các hệ thức trong tam giác vuông:
Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;
b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.
Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;
b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.