Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ diểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax, By lần lượt tại C và D

1. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp điểm). Khi đó:

•  Điểm A cách đều hai tiếp điểm B và C hay AB = AC.

• AO là tia phân giác của .

• OA là tia phân giác của .

2. Đường tròn nội tiếp của tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, AC, AB.

Khi đó, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.

Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc C).

Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Gọi K là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đến các đường thẳng BC, AC, AB.

Khi đó, K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.