Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì ?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 3 điểm H, M, F thẳng hàng.

c) Chứng minh $OM=\frac{1}{2}AH$

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM

a) Chứng minh : $CH\perp AB$

b) Gọi I là trung điểm CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai dây AM, BN song song với nhau sao cho $sd\stackrel{⏜}{BM}<{90}^0.$ Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:

a) $AB\perp DN$

b) BC là tiếp tuyến của (O)

Vẽ nửa đường tròn đường kính BC của tam giác đều ABC về phía ngoài của tam giác. Trên đường tròn đó lấy hai điểm D và E sao cho $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EC}$. Các tia AD, AE cắt cạnh BC tại M và N. Chứng minh rằng $BM=MN=NC$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}\right.$

Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt CD tại S. Chứng minh rằng $\angle MSD=2\angle MBA$

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+y=2\\ 8x+my=m+2\end{array}\right.$(m là tham số)

Giải hệ phương trình khi m = -1

Chứng tỏ rằng đường thẳng $\left(2m-5\right)x+\left(4m+9\right)y=-19$ luôn luôn đi qua một điểm cố định .

Tìm các giá trị của tham số m để nghiệm của hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{3}-\frac{y+1}{4}=\frac{4x-2y+2}{5}\\ \frac{2x-3}{4}-\frac{y-4}{3}=-2x+2y-2\end{array}\right.$cũng là nghiệm của phương trình $6mx-5y=2m-4$