1) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} + 3 = 0\\x + y = 1\end{array} \right.\].

2) Giải phương trình: \[{x^3} - 2{x^2} - 4x = 0\].

3) Cho phương trình \[{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 2x + 4 = 0\]. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{2}{{x_1^2 + x_2^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{15m}}\]?

1) Hệ phương trình tương đương với: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = - 3\\x + y = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 3\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - 2\\2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\].

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\]

2) Phương trình tương đương với: \[x\left( {{x^2} - 2x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2x - 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\]

Giải (*), ta có \[\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 4} \right) = 5 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 5 \].

Phương trình (*) có nghiệm là: \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 5 }}{1} = 1 + \sqrt 5 \\x = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 5 }}{1} = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\]

 

Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = 0;\,\,x = 1 \pm \sqrt 5 \]

3) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi \[\Delta ' > 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2x + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 0\]     (*)

Với \[m < 0\] theo định lý Vi-et, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4 - 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 4\end{array} \right.\].

Ta có: \[\frac{2}{{x_1^2 + x_2^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{15m}} \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{15m}}\]          (1)

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{m + \frac{4}{m} - 6}} - \frac{1}{{m + \frac{4}{m} - 2}} = \frac{1}{{15}}\]

Đặt \[t = m + \frac{4}{m}\] do \[m < 0 \Rightarrow t < 0\].

Ta có (1) trở thành: \[\frac{1}{{t - 6}} - \frac{1}{{t - 2}} = \frac{1}{{15}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\\t = 12\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\]

Với \[t = - 4 \Leftrightarrow m + \frac{4}{m} = - 4 \Leftrightarrow m = - 2\] (thỏa mãn (*)).