Cho $\Delta$ABC, lấy M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

          a) AC = EB và AC // BE;

          b) Trên AC lấy điểm I, trên EB lấy điểm K sao cho AI = EK;

          Chứng minh ba điểm: I, M, K thẳng hàng.

c) Từ E kẻ EH $\perp$ BC (H $\in$ BC). Giả sử K là trung điểm của BE và HK = 5 cm; HE = 6 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BH.

a) Xét tam giác AMC và tam giác EMB có:

                    MA = ME (GT)

                 $\widehat{AMC}=\widehat{EMB}$    (Hai góc đối đỉnh)

                    MC = MB (M là trung điểm của BC)

Do đó:  tam giác AMC = tam giác EMB (c – g – c)

 => AC = EB (Hai cạnh tương ứng)     (1 điểm)

và ${\widehat{A}}_1={\widehat{E}}_1$   (Hai góc tương ứng)

Mà ${\widehat{A}}_1$  và  ${\widehat{E}}_1$  ở vị trí so le trong nên AC // BE        

b) 

Xét  $\Delta$ AMI và  $\Delta$ EMK có:

                    AI = EK (GT)

                  ${\widehat{A}}_1={\widehat{E}}_1$ (CM ở câu a)     

                    MA = ME (GT)

Do đó: AMI = EMK (c – g – c)

=> ${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$ (hai góc tương ứng)

Ta có: ${\widehat{M}}_1+\widehat{IME}$= 180⁰ (Hai góc kề bù) nên ${\widehat{M}}_2+\widehat{IME}$   = 180⁰

 Ba điểm I, M, K thẳng hàng.         

c)

Vì $\Delta$ BHE vuông tại H có HK là đường trung tuyến (do K là trung điểm của BE)

 Nên HK =  

 BE = 2HK = 2.5 = 10 cm.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác  BHE vuông tại H có:

          BE² = BH² + HE²

          10² = BH² + 6²

        =>   BH² = 100 – 36 = 64

        =>    BH = 8 cm