Cho ΔABC vuông tại A, đường trung tuyến CM

a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM;

b) Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.

Chứng minh rằng ΔMAC = ΔMBD và AC = BD;

c) Chứng minh rằng AC + BC > 2CM;

d) Gọi K là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho $\text{AK}=\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{AM}$ . Gọi N là giao điểm của CK và AD, I là giao điểm của BN và CD. Chứng minh rằng: CD = 3ID.

a) Ta có ΔABC vuông tại A

$\Rightarrow {\text{BC}}^{\text{2}}={\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}$ (định lý Pytago)

$\begin{array}{l}{\text{10}}^{\text{2}}={\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{6}}^{\text{2}}\\ \text{100}={\text{AB}}^{\text{2}}+\text{36}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\text{AB}}^{\text{2}}=\text{100}-\text{36}=\text{64}\\ \Rightarrow \text{AB}=\sqrt{\text{64}}=\text{8cm\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\end{array}$

Ta có BM = $\text{BM}=\frac{\text{AB}}{\text{2}}=\frac{\text{8}}{\text{2}}=\text{4cm}$ $(vì M là trung điểm của AB)$

b, 

Xét ΔMAC và ΔMBD có:

                     (2 góc đối đỉnh)

                    MA = MB (vì M là trung điểm của AB)

                    MC = MD (gt)

          Do đó:  ΔMAC = ΔMBD (c.g.c)

           (2 cạnh tương ứng)        (1 điểm)

c) Ta có AC + BC = BD + BC (1) (vì AC = BD)

          Lại có 2CM = CD (2) (vì M là trung điểm của CD)          

          Xét ΔBCD có: BD + BC > CD (3) (bất đẳng thức tam giác)

          Từ (1), (2) và (3)  AC + BC > 2CM          (1 điểm)

c, 

Ta có AC + BC = BD + BC (1) (vì AC = BD)

          Lại có 2CM = CD (2) (vì M là trung điểm của CD)          

          Xét ΔBCD có: BD + BC > CD (3) (bất đẳng thức tam giác)

          Từ (1), (2) và (3)  AC + BC > 2CM          (1 điểm)

d, 

 

              

Xét ΔACD có: AM là đường trung tuyến và $\frac{\text{AK}}{\text{AM}}=\frac{\text{2}}{\text{3}}$

 K là trọng tâm của ΔACD

  CK cắt AD tại N là trung điểm của AD

   Xét ΔABD có: DM và BN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại I

 I là trọng tâm ΔABD

$\Rightarrow \text{ID}=\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{DM}$

$=\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{.}\frac{\text{DC}}{\text{2}}=\frac{\text{DC}}{\text{3}}$

(vì M là trung điểm của DC)

$\Rightarrow \text{DC}=\text{3ID}$