Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Đường thẳng BQ cắt AP tại E và cắt MC tại F. Đường thẳng DN cắt AP tại S và cắt MC tại R.

a) Chứng minh tứ giác EFRS là hình bình hành.

Một chiếc khăn trải bàn có dạng hình chữ nhật ABCD được thêu một hoạ tiết có dạng hình thoi MNPQ ở giữa với MP = x (cm), NQ = y (cm) (x > y > 0) như Hình 5.

Viết đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của chiếc khăn trải bàn đó.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\);

b) x² – x – y² + y;

c) x³ + 2x² + x – 16xy².

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = 16x² ‒ 8xy + y² ‒ 21 biết 4x = y + 1;

b) B = 25x² + 60xy + 36y² + 22 biết 6y = 2 ‒ 5x;

c) C = 27x³ – 27x²y + 9xy² – y³ – 121 biết 3x = 7 + y.

Thực hiện phép tính:

a) \(7{x^2}{y^5} - \frac{7}{3}{y^2}\left( {3{x^2}{y^3} + 1} \right)\);

b) \(\frac{1}{2}x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \frac{3}{2}{y^2}\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt 4 }}{x^3}\);

c) (x + y)(x2 + y2 + 3xy) ‒ x3 ‒ y3;

d) (‒132xn + 1y10zn + 2 + 143xn + 2y12zn) : (11xny9zn) với n là số tự nhiên.

Cho hai đa thức: M = 23x²³y ‒ 22xy²³ + 21y ‒ 1 và N = ‒22xy³ ‒ 42y ‒ 1.

a) Tính giá trị của mỗi đa thức M, N tại x = 0; y = –2.

b) Tính M + N; M – N.

c) Tìm đa thức P sao cho M – N – P = 63y + 1.

Thực hiện phép tính:

a) \({x^3}\left( { - \frac{5}{4}{x^2}y} \right)\left( {\frac{2}{5}{x^3}{y^4}} \right)\);

b) \(\left( { - \frac{3}{4}{x^5}{y^4}} \right)\left( {x{y^2}} \right)\left( { - \frac{8}{9}{x^2}{y^5}} \right)\).