Tính limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x

Ta có: 1+2x.1+3x3.1+4x4−1=1+2x−1+2x+1+2x.1+3x3−1+2x.1+3x3+1+2x.1+3x3.1+4x4−1=1+2x−1+1+2x1+3x3−1+1+2x.1+3x3.1+4x4−1 ⇒limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x=limx→01+2x−1x+limx→01+2x.1+3x3−1x+limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x Tính: limx→01+2x−1x=limx→01+2x−11+2x+1x1+2x+1=limx→02xx1+2x+1=limx→021+2x+1=21+1=1 limx→01+2x.1+3x3−1x=limx→01+2x.1+3x3−11+3x32+1+3x3+1x.1+3x32+1+3x3+1=limx→01+2x.3xx.1+3x32+1+3x3+1=limx→031+2x1+3x32+1+3x3+1=3.11+1+1=3 limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x =limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−11+4x43+1+4x42+1+4x4+1x.1+4x43+1+4x42+1+4x4+1 =limx→01+2x.1+3x3.4x1+4x4−11+4x43+1+4x42+1+4x4+1x.1+4x43+1+4x42+1+4x4+1 =limx→041+2x.1+3x31+4x43+1+4x42+1+4x4+1=4.1.11+1+1+1=1 Vậy limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x=1+1+1=3 Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi:

10/07/2024 174

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B.24 C. $\frac{3}{2}$

D.3

Đáp án chính xác

Xem lời giải Xem lý thuyết

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + 2 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} - \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = (\sqrt{1 + 2 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} (\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . (\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}) \end{array}$

Tính:

$\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + 2 x} - 1) (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

$\begin{array}{l} \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{3 x}{x . [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\frac{3 \sqrt{1 + 2 x}}{[{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) = \frac{3.1}{1 + 1 + 1} = 3 \end{array}$

$\underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{4 x}{\frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} \frac{4 \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x}}{[{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]} = \frac{4.1.1}{1 + 1 + 1 + 1} = 1$

Vậy $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a,b là các số nguyên và $\lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = 20$ . Tính $P = a^{2} + b^{2} - a - b$

Xem đáp án » 06/09/2022 300

Câu 2:

Tính $\lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 7)$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 209

Câu 3:

Tính $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{3 x - 9}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 200

Câu 4:

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 3} - x)$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 200

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 06/09/2022 198

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau đâu là mệnh đề đúng?

Xem đáp án » 06/09/2022 194

Câu 7:

Tính $\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{4} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 1}}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 193

Câu 8:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 1} + x - 1)$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 193

Câu 9:

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 191

Câu 10:

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 188

Câu 11:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 9}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 185

Câu 12:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 185

Câu 13:

Tính $\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{4 x + 1} - 3}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 184

Câu 14:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (x - 1) \sqrt{\frac{x^{2}}{2 x^{4} + x^{2} + 1}}$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 183

Câu 15:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng?

Xem đáp án » 06/09/2022 183

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

Giới hạn và tính liên tục

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đọc hiểu chủ đề đời sống

10 đề 7127 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề y học

11 đề 3649 lượt thi Thi thử
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3567 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề môi trường

8 đề 3212 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 2892 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề công nghệ

8 đề 2465 lượt thi Thi thử
Mệnh đề quan hệ

2 đề 2332 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 2303 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 2161 lượt thi Thi thử
Phương pháp quy nạp toán học và dãy số

2 đề 2047 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Tính limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x

A.232

B.24

C.32

D.3