Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện \[\left| {z - i} \right| = 5\] và \[{z^2}\] là số thuần ảo?
A.2
B.3
C.4
D.0
Giải bởi Vietjack
Đặt\[z = a + bi\]
Ta có:\[\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25\]
\[{z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\]
Do\[{z^2}\] là số thuần ảo nên:\[{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a}\\{b = - a}\end{array}} \right.\]
TH1: b=a thay vào (1) ta được:
\[{a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 \Rightarrow b = 4}\\{a = - 3 \Rightarrow b = - 3}\end{array}} \right.\)
TH2: b=-a thay vào (1) ta được:
\[{a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3 \Rightarrow b = - 3}\\{a = - 4 \Rightarrow b = 4}\end{array}} \right.\)
Vậy có 4 số phức cần tìm là:\[4 + 4i, - 3 - 3i,3 - 3i, - 4 + 4i\]
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho số phức \[z = 2 + 5i\]. Tìm số phức \[w = iz + \overline z \]
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \[{z_1} = - 1 + i,\;{z_2} = 1 + 2i,{z_3} = 2 - i,{z_4} = - 3i\]. Gọi S diện tích tứ giác ABCD. Tính S.
Cho hai số phức \[{z_1},{z_2}\;\] thỏa mãn \[\left| {{z_1}} \right| = 6,\left| {{z_2}} \right| = 2\]. Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \[{z_1}\] và số phức \[i{z_2}_{}\]. Biết \(\widehat {MON} = {60^ \circ }\). Tính \[T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right|\]
Cho số phức z thỏa mãn \[(1 + i)z = 3 - i\]. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M,N,P,Q ở hình bên ?
Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \[{z_1};{z_2}\;\] khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?
Cho số phức z thỏa mãn \[{\left( {1 + z} \right)^2}\] là số thực. Tập hợp điểm MM biểu diễn số phức z là:
Cho số phức z thỏa mãn (2−i)z=7−i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M,N,P,Q ở hình dưới.
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \[z.\overline z = 1\;\] là:
Cho các số phức \[{z_1} = 3 - 2i,{z_2} = 1 + 4i\] và \[{z_3} = - 1 + i\;\] có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm A,B,C. Diện tích tam giác ABC bằng:
Số phức z được biểu diễn trên trên mặt phẳng như hình vẽ.
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức \[w = \frac{i}{{\overline z }}\]
Cho số phức z thay đổi, luôn có \[\left| z \right| = 2\;\]. Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\;\] là
Cho ba điểm A,B,C lần lượt biểu diễn các số phức sau \[{z_1} = 1 + i;{z_2} = z_1^2;{z_3} = m - i\]. Tìm các giá trị thực của m sao cho tam giác ABC vuông tại B.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức \[z = - 1 + 2i\;\] và \[\alpha \] là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM. Tính \[tan2\alpha .\]
