Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h(h > R). Tìm hh để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
A.\[h = R\sqrt 3 \]
B. \[h = R\sqrt 2 \]
C. \[h = \frac{{4R}}{3}\]
D. \[h = \frac{{2R}}{3}\]
Giải bởi Vietjack
Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R}\\{V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)}\end{array}\]
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
\[f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)\]
\[ = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\]
\[ \Rightarrow f\prime (r) = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R)\prime \]
\[ = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + ({r^2}R)\prime \]
\[ = ({r^2})\prime \sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + 2rR\]
\[ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\]
\[ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\]
\[ = r(2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R)\]
\[\begin{array}{l}f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}\]
\[ \Leftrightarrow {r^2} = \frac{8}{9}{R^2} \to h = \frac{{4{\rm{R}}}}{3}.\]
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường cao h và độ dài đường sinh l là:
Cho tam giác AOB vuông tại O. Quay tam giác quanh cạnh OA ta được hình nón có đường sinh và đường cao lần lượt là:
Cho hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại điểm O và góc giữa hai đường thẳng là \[\alpha \]. Quay đường thẳng d′ quanh d thì số đo \[\alpha \] bằng bao nhiêu để mặt tròn xoay nhận được là mặt nón tròn xoay?
Cho hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại điểm O và góc giữa hai đường thẳng là \[\alpha ({0^0} < \alpha < {90^0}).\] Quay đường thẳng d′ quanh d thì ta được mặt nón có góc ở đỉnh bằng:
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a = 3 . Tính độ dài đường cao của hình nón.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Cho tam giác ABC đều, có diện tích bằng s1 và AH là đường cao. Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có diện tích xung quanh bằng s2. Tính \(\frac{{{s_1}}}{{{s_2}}}\).
Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng \[9\pi \]. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng:
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r = 3cm và độ dài đường sinh 4cm là:
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \[3\pi {a^2}\] và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
Gọi r, l, h lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. Chọn mệnh đề đúng:
Cho hình nón có các kích thước r = 1cm; l = 2cm với r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD,BC; AD = 3BC = 3a, AB = a,\(SA = a\sqrt 3 \). Điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng(ABCD).
