Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất.

Có hai điểm dân cư cùng phía bên cạnh một dòng sông. Người ta muốn xây dựng một trạm cung cấp nước lấy từ dòng sông và qua xử lí cung cấp cho hai điểm dân cư nói trên. Vậy phải đặt trạm xử lí nước tại điểm nào trên bờ sông để độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai điểm dân cư là nhỏ nhất?

Đường quốc lộ và đường ống dân dầu cắt nhau một góc nhỏ hơn 45⁰, trong góc này có một bãi đỗ các ô tô của xí nghiệp vận tải. Xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe đến lấy xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.

Trong lòng một con sông rộng có một hòn đảo hình tròn. Người ta muốn xây dựng những bến đỗ cho các tàu chở khách du lịch để chở khách từ đảo lên một bờ rồi nhận khách, đi sang ngay bờ bên kia nhận khách tiếp rồi chở về đảo hoặc ngược lại. Phải đặt các bến ở đâu để đường đi trên sông là ngắn nhất, biết rằng đường thẳng hai bờ sông kéo dài cắt nhau tại O tạo thành một góc nhọn.

Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ và thay trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và cùng một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường $C\to H\to K\to Q\to B\to P\to C$ ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa $P,H,Q,K$ và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định $P,Q,H,K$ có dạng như hình vẽ.

Có hai kho chứa xăng hình tròn ở cùng một phía đối với đường quốc lộ. Người ta muốn xây dựng một trạm cung ứng và phân phối xăng bên đường quốc lộ nối với hai đường ống nối tới hai bồn xăng là ngắn nhất.

Cho hình vuông ABCD. Hãy xác định đường thẳng đi qua tam hình vuông cắt các cạnh đối AD và BC sao cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là

a) Lớn nhất

Một mảnh đất hình tam giác nhọn ABC nằm ở vị trí giao nhau của ba con sông. Trong mảnh đất này có hai nhà máy D và E. Tàu chở hàng thả hàng ở ba vị trí $M,K,L$ lần lượt nằm trên các cạnh $AC, AB, BC$ của tam giác ABC. Hãy tìm các vị trí bỏ hàng $M,K,L$ để quãng đường đi từ D đến M, đến K đến L rồi đến E là nhỏ nhất.

b) Nhỏ nhất.