Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không đạt giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về  A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5h. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2$\sqrt{5}$m (bỏ qua độ dày của cổng).

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y = ax² với a < 0 hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1.

Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30km. Khi đi ngược trở lại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B.

Một đội xe theo kể hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chử vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy?

Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi xe tải xuất phát một thời gian thì một xe khách cũng xuất phát từ A với vận tốc 50 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường AB, xe khách tăng vận tốc lên 60 km/h nên đến B sớm hơn xe tải 16 phút. Tính quãng đường AB.