Trong hình vuông ABCD và nữa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đường tròn đường kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB.

Xem lời giải

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Kẻ PI $⊥$ AB.
Xét $△$ APK và $△$ API :
$△$ APK vuông tại K (Vì $\hat{A K D} = 90^{\circ}$ góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính AD)
$△$ ADP cân tại D, AD = DP
=> $\hat{P_{2}} = \hat{D A P}$
Mặt khác: $\hat{P_{1}} = \hat{D A P}$ (So le trong vì AD // PI)
Do đó: $\hat{P_{1}} = \hat{P_{2}}$ => $△$ APK = $△$ API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Cách giải 2: (Hình 2

(Hình 2)

Ta có: $\hat{A F D} = 90^{o}$ (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác suy ra $\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$
mà $\hat{D_{2}} = \hat{A_{1}}; \hat{D_{1}} = \hat{A_{2}}$ ; Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc
Suy ra: $\hat{A_{1}} = \hat{A_{1}}$ => $△$ APK = $△$ API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Cách giải 3: (Hình 2)

Ta có (Có số đo bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A K}$ )
Mặt khác góc $\overset{⏜}{I A P}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên góc bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc $\overset{⏜}{A D P}$
$\overset{⏜}{I A P} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{A D P} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{I A K}$ Suy ra: $\overset{⏜}{A_{1}} = \overset{⏜}{A_{2}}$ => $△$ APK = $△$ API
(Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) => PK = PI

Cách giải 4: (Hình 3)

DK $⊥$ AE nên $\overset{⏜}{AP} = \overset{⏜}{PE}$ .
Góc $\overset{⏜}{B A E}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $\overset{⏜}{A E}$ )Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc $\overset{⏜}{B A E}$
Suy ra: $\overset{⏜}{A_{1}} = \overset{⏜}{A_{2}}$ => $△$ APK = $△$ API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »