Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.

Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC

Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC

Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP.

Cách giải 1:
Xét $△$ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => KA = KP (1)
Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => IA = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH
$\Rightarrow \widehat{IKO}=\widehat{OCH}$ ( Hình 1)
Hoặc $\widehat{IKO}+\widehat{OCH}={180}^{\circ }$ (Hình 2)
Xét tứ giác AKOI có $\widehat{I}=\widehat{K}={90}^{\circ }$ => AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 2:
Ta có BN là đường trung trực của AH $\Rightarrow \widehat{BHO}=\widehat{BAO}$ mà $\widehat{BAO}=\widehat{OAC}$ nên $\widehat{BHO}=\widehat{OAC}$ => Tứ giác AOHC nội tiếp được. => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 3:
$△$ABI là tam giác vuông nên $\widehat{IBA}+\widehat{BAI}={180}^{\circ }$ hay $\widehat{IBA}+\widehat{BAO}+\widehat{OAI}={180}^{\circ }$ Suy ra: $\widehat{OAI}+\frac{{\displaystyle \widehat{B}}}{2}+\frac{{\displaystyle \widehat{A}}}{2}={90}^{\circ }$ => $\widehat{OAI}$  bằng (hoặc bù) với góc $\widehat{OCH}\Rightarrow$Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 4:
* Đối với (Hình 1) ta có $\widehat{AHC}={90}^{\circ }+\frac{{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$Góc ngoài trong tam giác
$\widehat{AOC}={90}^{\circ }+\frac{{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$  (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{AHC}=\widehat{AOC}\Rightarrow$ Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có $\widehat{AHC}={90}^{\circ }-\frac{{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$
$\widehat{AOC}={90}^{\circ }+\frac{{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$ (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{AHC}+\widehat{AOC}={180}^{\circ }$
Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 5:
Ta có $\widehat{AON}=\frac{{\displaystyle \widehat{A}}+{\displaystyle \widehat{B}}}{2}$ (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)
$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{A}+\widehat{\mathbf{B}}\Rightarrow \widehat{AOH}+\widehat{ACH}={180}^{\circ }$ (Hình 1)
hoặc $\widehat{OAH}=\widehat{ACH}=\widehat{A}+\widehat{B}$ (Hình 2)
=> Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn