Cho biểu thức: \[P = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{x + 2\sqrt x + 4}} + 3\left( {1 - \sqrt x } \right)\].
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tìm giá trị nguyên dương của x để biểu thức \[Q = \frac{{2P}}{{1 - P}}\] có giá trị nguyên?
Giải bởi Vietjack
1) Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 2\sqrt x + 4k \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\].
Ta có: \[P = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 4}} + 3\left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x - 2 + 3\left( {1 - \sqrt x } \right) = 1 - 2\sqrt x \]
Vậy \[P = 1 - 2\sqrt x \].
Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \,\,\left( {a \ge 0} \right)\].
Ta có: \[P = \frac{{{a^3} - 8}}{{{a^2} + 2a + 4}} + 3\left( {1 - a} \right) = \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 2a + 4} \right)}}{{{a^2} + 2a + 4}} + 3\left( {1 - a} \right)\]
\[ = a - 2 + 3\left( {1 - a} \right) = 1 - 2a = 1 - 2\sqrt x \]
Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn biểu thức áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phuơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Ta có: \[Q = \frac{{2P}}{{1 - P}} = \frac{{2\left( {1 - 2\sqrt x } \right)}}{{1 - \left( {1 - 2\sqrt x } \right)}} = \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{2\sqrt x }} = - 2 + \frac{1}{{\sqrt x }}\]
Để Q nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \[1 \vdots \sqrt x \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\]. Vậy \[x = 1\]
Nhận xét: Bài toán tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nguyên bằng cách rút gọn biểu thức mới rồi phân tích phân nguyên.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2) Chứng minh BM // OP.
3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4) Biết AN cắt OP tại K, PN cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \[2ab + 6bc + 2ca = 7abc\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{4ab}}{{a + 2b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}} + \frac{{4bc}}{{b + c}}\].
1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 11\\2x + 3y = 12\end{array} \right.\].
2) Giải phương trình: \[{x^2} - x - 12 = 0\]
3) Cho phương trình: \[2{x^2} - 4mx + 2{m^2} - 1 = 0\] (1) với m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[2x_1^2 + 4m{x_2} + 2{m^2} - 9 < 0\].
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
2) Biết đồ thị của hàm số \[y = \frac{1}{3}a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm M (3; -6).
Hãy xác định giá trị của a.
