Giải phương trình: \[\sqrt {5{x^2} + 27x + 25} - 5\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - 4} .\]

ĐKXĐ: \[x \ge 2\]

    Ta có:

    \[\sqrt {5{x^2} + 27x + 25} - 5\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - 4} \]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} + 27x + 25} = 5\sqrt {x + 1} + \sqrt {{x^2} - 4} \]

\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + 27x + 25 = {x^2} - 4 + 25x + 25 + 10\sqrt {(x + 1)({x^2} - 4)} \]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 4 = 10\sqrt {x + 1)({x^2} - 4)} \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 2 = 5\sqrt {(x + 1)({x^2} - 4)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\]

    Cách 1:

    (1) \[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left( {4{x^2} - 13x - 26} \right) = 0\]

    Giải ra được:

    \[x = 1 - \sqrt 5 \](loại); \[x = 1 + \sqrt 5 \](nhận); \[x = \frac{{13 + 3\sqrt {65} }}{8}\] (nhận); \[x = \frac{{13 - 3\sqrt {65} }}{8}\] (loại)

    Cách 2:

    (1) \[ \Leftrightarrow 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} = 2\left( {{x^2} - x - 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)\]        (2)

    Đặt \[a = \sqrt {{x^2} - x + 2} ;\,\,b = \sqrt {x + 2} \,\,(a \ge 0;\,\,b \ge 0)\]

    Lúc đó, phương trình (2) trở thành:

    \[5ab = 2{a^2} + 3{b^2}\]\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 5ab + 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a - 3b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\2a = 3b\end{array} \right.\)    (*)

– Với a = b thì \[\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt {x + 2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 5 (ktm)\\x = 1 + \sqrt 5 (tm)\end{array} \right.\]

– Với 2a = 3b thì \[2\sqrt {{x^2} - x - 2} = 3\sqrt {x + 2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13 + 3\sqrt {65} }}{8}\,\,(tm)\\x = \frac{{13 - 3\sqrt {65} }}{8}\,\,(ktm)\end{array} \right.\]

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[x = 1 + \sqrt 5 \] và \[x = \frac{{13 + 3\sqrt {65} }}{8}\] .