Đường tròn (O), đường kính. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.

1) Chứng minh MN khi di động, trung điểm I của luôn nằm trên một đường tròn cố định.

2) Từ A kẻ \[Ax \bot MN\], tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.

3) Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.

4) Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào?

5) Cho \[AM.AN = 3{R^2},AN = R\sqrt 3 \]. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN?

1) I là trung điểm của MN nên \[OI \bot MN\] (quan hệ đường kính – dây cung) \[ \Rightarrow \widehat {OIH} = 90^\circ \]

Do OH cố định nên khi MN di động thì I chạy trên đường tròn đường kính OH.

Nhận xét: Bài toán chứng minh một điểm luôn nằm trên đường cố định.

2) Ta có \[AC//OI\] vì cùng vuông góc với MN.

Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của BC

Lại có I là trung điểm của nên CMBN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) (điều cần chứng minh).

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng cách chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3) CMBN là hình bình hành nên \[MC//BN\]

Mà \[BN \bot NA\] (\[\widehat {BNA} = 90^\circ \]do tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có \[AC \bot MN\]

Suy ra C là trực tâm tam giác AMN (điều cần chứng minh).

Nhận xét: Bài toán chứng minh một điểm là trực tâm của tam giác bằng cách chứng minh nó là giao điểm của hai đường cao.

4) Ta có H là trung điểm của OB, I là trung điểm của BC nên IH là đường trung bình của \[\Delta OBC\]

\[ \Rightarrow IH//OC\]

Mà \[OC \bot Ax \Rightarrow \widehat {OCA} = 90^\circ \], nên C thuộc đường tròn đường kính OA cố định.

Vậy khi MN quay quanh H thì C di chuyển trên đường tròn đường kính OA cố định.

Nhận xét: Bài toán tìm quỹ tích của một điểm.

 5) \[AM.AN = 3{R^2},AN = R\sqrt 3 \Rightarrow AM = \frac{{3{R^2}}}{{AN}} = \frac{{3{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = R\sqrt 3 \Rightarrow AM = AN = R\sqrt 3 \]

\[ \Rightarrow \Delta AMN\] cân tại A.

Xét \[\Delta ABN\] vuông tại N có \[AB = 2R;AN = R\sqrt 3 \Rightarrow BN = R \Rightarrow \widehat {ABN} = 60^\circ .\]

Có \[\widehat {ABN} = \widehat {AMN}\] (góc nội tiếp) nên \[\widehat {AMN} = 60^\circ \]

Suy ra \[\Delta AMN\] đều

\[ \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{{{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\]

\[ \Rightarrow S = {S_{\left\{ O \right\}}} - {S_{\Delta AMN}} = \pi {R^2} - \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{4}.\]

Nhận xét: Bài toán tính diện tích liên quan đến hình tròn và tam giác.