1. Cho Parabol $\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):\,\,y = x - 2$

a) Vẽ $\left( P \right)\,\,v{\rm{\`a }}\,\,\left( d \right)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ ${\rm{Ox}}y$.

b) Viết phương trình đường thẳng $\left( {d'} \right)$song song với $\left( d \right)$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$.

2. Cho phương trình ${x^2} - 4x + m = 0$ (m là tham số)

a) Biết phương trình có một nghiệm bằng $- 1$. Tính nghiệm còn lại.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn $\left( {3{x_1} + 1} \right)\left( {3{x_2} + 1} \right) = 4$

1.

a) $\left( P \right):\,\,y = - {x^2}$

$\left( d \right):\,\,y = x - 2$

$x = 0 \Rightarrow y = - 2:\,\,\,\,\,\,\left( {0; - 2} \right)$

$y = 0 \Rightarrow x = 2:\,\,\,\,\,\,\left( {2;0} \right)$

b) Phương trình đường thẳng $\left( {d'} \right)$ có dạng $y = {\rm{ax}} + b$

 $\left( {d'} \right)$//$\left( d \right):y = x - 2 \Rightarrow a = 1;\,\,b \ne - 2$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)\,v{\rm{\`a }}\,\left( {d'} \right)$là $- {x^2} = x + b \Leftrightarrow {x^2} + x + b = 0\,\,\left( * \right)$

PT $\left( * \right)$ có $\Delta = 1 - 4b$.

$\left( P \right)\,v{\rm{\`a }}\,\left( {d'} \right)$tiếp xúc nhau khi PT $\left( * \right)$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow 1 - 4b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}$ (nhận).

Vậy PT đường thẳng $\left( {d'} \right)\,\,l{\rm{\`a }}:\,y = x + \frac{1}{4}$

2.

a) PT ${x^2} - 4x + m = 0$có một nghiệm bằng $- 1$$\Rightarrow a - b + c = 0 \Rightarrow 1 + 4 + m = 0 \Rightarrow m = - 5$.

Nghiệm còn lại của PT là $- \frac{c}{a} = - \frac{m}{1} = - \frac{{ - 5}}{1} = 5$

b) ĐK $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 4$

Áp dụng định lí Vi et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left( {3{x_1} + 1} \right)\left( {3{x_2} + 1} \right) = 4 \Rightarrow 9{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 4\\ \Rightarrow 9m + 3.4 + 1 = 4 \Rightarrow m = - 1\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $m = - 1$ là giá trị cần tìm.