Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH $\perp$ BC.

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.

a) Chứng minh rằng $\Delta A\text{D}M=\Delta B\text{D}C$. Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC.

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng $\Delta ABM=\Delta ACN$.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABH=\Delta DBH$.

Tính một cách hợp lí.

a) $\frac{5}{11}-\frac{10}{19}+1,5+\frac{17}{11}-\frac{9}{19}$;                  

Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng x (dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng x + 1, x + 3 và x + 2 (xem hình bên).

a) Tìm đa thức biểu thị thể tích nước còn lại trong bể.

Hai người thợ cùng làm tổng cộng được 136 sản phẩm (thời gian làm như nhau). Hỏi mỗi người thợ làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thợ thứ nhất làm một sản phẩm mất 9 phút, còn người thứ hai làm mất 8 phút?

c) Hãy ước tính (không tra bảng hay dùng máy tính) số dương x (lấy đến 1 chữ số sau dấu phẩy) sao cho x² = 13. Sau đó dùng máy tính cầm tay (hoặc tra bảng) để tính x, chính xác đến hàng phần chục để kiểm tra xem con số em ước tính chênh lệch bao nhiêu so với kết quả tính bằng máy tính.

Cho hai đa thức A = 6x³ - 4x² - 12x - 7 và B = 2x² - 7.

a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.

Ba khối 6, 7, 8 của một trường Trung học cơ sở tham gia quyên góp vở tặng các bạn vùng khó khăn. Biết rằng số vở quyên góp được của ba khối theo thứ tự tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 và số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển. Hỏi mỗi khối quyên góp được bao nhiêu quyển vở?

c) Chứng minh rằng x = 0, x = -1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A - B.

d) Giả sử $\widehat{ABC}$ = 60^o. Chứng minh rằng tam giác BCM là tam giác đều và CE = 2EA.

e) Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu A - R chia hết cho B.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức trong câu a.

c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI $\perp$ AM; CK $\perp$ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.