Cho hình thoi MNPQ có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi H là điểm đối xứng với P qua N.

a) Chứng minh rằng tứ giác MHNQ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng tam giác HMP là tam giác vuông.

c) Lấy G là điểm đối xứng với n qua đường thẳng MH; K là giao điểm của HM và NG. Chứng minh rằng tứ giác NOMK là hình chữ nhật. Tìm điều kiện của hình thoi MNPQ để NOMK là hình vuông.

d) Chứng minh rằng điểm G và điểm Q đối xứng nhau qua điểm M.

Một chiếc khăn trải bàn có dạng hình chữ nhật ABCD được thêu một hoạ tiết có dạng hình thoi MNPQ ở giữa với MP = x (cm), NQ = y (cm) (x > y > 0) như Hình 5.

Viết đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của chiếc khăn trải bàn đó.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\);

b) x² – x – y² + y;

c) x³ + 2x² + x – 16xy².

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = 16x² ‒ 8xy + y² ‒ 21 biết 4x = y + 1;

b) B = 25x² + 60xy + 36y² + 22 biết 6y = 2 ‒ 5x;

c) C = 27x³ – 27x²y + 9xy² – y³ – 121 biết 3x = 7 + y.

Thực hiện phép tính:

a) \(7{x^2}{y^5} - \frac{7}{3}{y^2}\left( {3{x^2}{y^3} + 1} \right)\);

b) \(\frac{1}{2}x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \frac{3}{2}{y^2}\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt 4 }}{x^3}\);

c) (x + y)(x2 + y2 + 3xy) ‒ x3 ‒ y3;

d) (‒132xn + 1y10zn + 2 + 143xn + 2y12zn) : (11xny9zn) với n là số tự nhiên.

Cho hai đa thức: M = 23x²³y ‒ 22xy²³ + 21y ‒ 1 và N = ‒22xy³ ‒ 42y ‒ 1.

a) Tính giá trị của mỗi đa thức M, N tại x = 0; y = –2.

b) Tính M + N; M – N.

c) Tìm đa thức P sao cho M – N – P = 63y + 1.

Thực hiện phép tính:

a) \({x^3}\left( { - \frac{5}{4}{x^2}y} \right)\left( {\frac{2}{5}{x^3}{y^4}} \right)\);

b) \(\left( { - \frac{3}{4}{x^5}{y^4}} \right)\left( {x{y^2}} \right)\left( { - \frac{8}{9}{x^2}{y^5}} \right)\).