b) Cho a và b là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ cũng là số hữu tỉ

a) Giải hệ phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x=57\\ {\left|x-1\right|}^{2021}+{\left|x-2\right|}^{2021}=1\end{array}\right.$

c) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Vẽ hình bình hành MBNE . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE .  Chứng minh rằng OH vuông góc với đường thẳng (d) và $OH=\frac{1}{2}AB$

b) Chứng minh rằng $CM.CN=AC.BC$

Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, bán kính bằng 1,6m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1,6m sao cho $\angle BOC=45°$(như hình vẽ). Người ta cần sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt như hình ở bên. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là 150 nghìn đồng$/m^2$và phần còn lại là 200 nghin đồng$/m^2$. Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo bằng bao nhiêu ? Cho $\pi =\mathrm{3,14}$

a) Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+3=0;x^2-mx+4m-11=0$

b) Chứng minh rằng $P\ge 0$

b) Giả sử PB = PC và $PC<PA.$ Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, K, L trên các cạnh BC, CA, AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác $\angle BAC$

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận được các số dư tương ứng 3, 4, 5, 6

Với các số thực a và b thỏa mãn $a^2+b^2=2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3\left(a+b\right)+ab$

b) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2x+m-2$ . Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ sao cho $\left|x_1-x_2\right|=2$

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{x+1}-2y=-1\\ \frac{5}{x+1}+3y=11\end{array}\right.$

b) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6 m và bán kính đáy 0,5 m . Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy $\pi \approx \mathrm{3,14})$

a) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế ? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).

b) Chứng minh $A+B=\frac{3}{\sqrt{x}+3}$

d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) ( M,N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh $\angle EBF=\angle EFK$

b) Chứng minh $AF.AC=AB.AE$

b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi $y_1,y_2$ lần lượt là tung độ của hai điểm A,B. Tìm tất cả các giá trị của m để $y_1+y_2=4$

Một mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có diện tích bằng $680m^2$, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 3m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính chu vi mảnh vườn ban đầu.

2. Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{array}{l}2\left(x-3\right)=y-1\\ 3x+4y=13\end{array}\right.$

1. Giải phương trình :$x^2+7x+10=0$

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $6a+3b+2c=abc$

4) Khi C,D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho $CD=R\sqrt{3}$, Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

3) Gọi F là giao điểm của EH và AB.  Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDF

2) Chứng minh $CE.CA=CH.\text{}CB$

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hoành độ của A,B. Tìm các giá trị của m để $\left|x_1-x_2\right|=6$

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+2\right)=3\left(y-1\right)\\ 3x+y=6\end{array}\right.$

1) Giải phương trình :$x^2-6x+5=0$

2) Cho biểu thức $B=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}\left(\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 1\end{array}\right)$

Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho $B\le \frac{1}{2}$

1) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3xyz$

Chứng minh rằng : $\frac{x^2}{x^4+zy}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le \frac{3}{2}$

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD