Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Các câu hỏi trong bài

Câu hỏi khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 4; n = 5.

Khi đó ta có:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:

Ta đã biết (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³.

a) Tính $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3$.

b) Chọn số thích hợp cho $\boxed{?}$ trong khai triển sau:

(a + b)³  = $C_3^{\boxed{?}}.a^3+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^1+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^2+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^3$.

Lời giải

a) Ta tính được

$C_3^0=\mathrm{1,}{C}_3^1=\mathrm{3,}{C}_3^2=\mathrm{3,}{C}_3^3=1$ (có thể sử dụng máy tính cầm tay).

b) Do (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³

Mà theo câu a) ta có: $C_3^0=\mathrm{1,}{C}_3^1=\mathrm{3,}{C}_3^2=\mathrm{3,}{C}_3^3=1$.  

Vậy ta điền được:

(a + b)³  = $C_3^{\boxed{0}}.a^3+C_3^{\boxed{1}}.a^{3-\boxed{1}}.b^1+C_3^{\boxed{2}}.a^{3-\boxed{2}}.b^2+C_3^{\boxed{3}}.a^{3-\boxed{3}}.b^3$.

Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)⁴.

Lời giải

Ta có:

(2 + x)⁴ 

= 2⁴ + 4 . 2³ . x + 6 . 2² . x² + 4 . 2 . x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)⁴.

Lời giải

Ta có: (2 – 3y)⁴ 

= [2 + (– 3y)]⁴ 

= 2⁴ + 4 . 2³ . (– 3y) + 6 . 2² . (– 3y)² + 4 . 2 . (– 3y)³ + (– 3y)⁴

= 16 – 96y + 216y² – 216y³ + 81y⁴.

Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Tính:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$;

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$.

Lời giải

Ta có:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$

$=C_4^0.1^4+C_4^1.1^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3{\mathrm{.1.1}}^3+C_4^4{.1}^4$

= (1 + 1)⁴ 

= 2⁴ 

= 16.

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$

= $C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.\left(-1\right)+C_5^2{.1}^3.{\left(-1\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(-1\right)}^4+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= [1 + (– 1)]⁵ 

= 0⁵

= 0.

B. Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)⁴;

b) (3y – 4)⁴;

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4$;

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4$.

Lời giải

a) (2x + 1)⁴ 

= (2x)⁴ + 4 . (2x)³ . 1 + 6 . (2x)² . 1² + 4 . (2x) . 1³ + 1⁴ 

= 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1.  

b) (3y – 4)⁴ 

= [3y + (– 4)]⁴ 

= (3y)⁴ + 4 . (3y)³ . (– 4) + 6 . (3y)² . (– 4)² + 4 . (3y) . (– 4)³ + (– 4)⁴ 

= 81y⁴ – 432y³ + 864y² – 768y + 256.

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4$

$=x^4+4.x^3.\frac{1}{2}+6.x^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4.x.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$=x^4+2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$.

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4$

$={\left[x+\left(-\frac{1}{3}\right)\right]}^4$

$=x^4+4.x^3.\left(-\frac{1}{3}\right)+6.x^2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+4.x.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4$

$=x^4-\frac{4}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-\frac{4}{27}x+\frac{1}{81}$.

Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)⁵;

b) (x – 3y)⁵.

Lời giải

a) (x + 1)⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . 1 + 10 . x³ . 1² + 10 . x² . 1³ + 5 . x . 1⁴ + 1⁵

= x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.

b) (x – 3y)⁵ 

= [x + (– 3y)]⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . (– 3y) + 10 . x³ . (– 3y)² + 10 . x² . (– 3y)³ + 5 . x . (– 3y)⁴ + (– 3y)⁵

= x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Xác định hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵.

Lời giải

Số hạng chứa x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2$.

Mà $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2$ = 5 . 81x⁴ . 2 = (5 . 2 . 81)x⁴ = 810x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là 810.  

Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho

${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$. Tính:

a) a₃;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅.

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5={\left[1+\left(-\frac{1}{2}x\right)\right]}^5$$=1^5+{5.1}^4.\left(-\frac{1}{2}x\right)+{10.1}^3.{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^2+{10.1}^2.{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^3+\mathrm{5.1.}{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^4+{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^5$

$=1-\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{5}{4}{x}^3+\frac{5}{16}{x}^4-\frac{1}{32}{x}^5$

$=1+\left(-\frac{5}{2}\right)x+\frac{5}{2}{x}^2+\left(-\frac{5}{4}\right)x^3+\frac{5}{16}{x}^4+\left(-\frac{1}{32}\right)x^5$.

a) Ta có a₃ là hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5$.

Vậy $a_3=-\frac{5}{4}$.

b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra: $a_0=\mathrm{1,}{a}_1=-\frac{5}{2},a_2=\frac{5}{2},a_3=-\frac{5}{4},a_4=\frac{5}{16},a_5=-\frac{1}{32}$.

Khi đó: a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = $1+\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)+\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)$$=\frac{1}{32}$.

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ $=\frac{1}{32}$.

Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là $C_5^n$.

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là $C_5^0$.

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là $C_5^1$.

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là $C_5^2$.

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là $C_5^3$.

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là $C_5^4$.

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là $C_5^5$.

Do đó, số tập hợp con của A là:

$C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.1+C_5^2{.1}^3{.1}^2+C_5^3{.1}^2{.1}^3+C_5^4{\mathrm{.1.1}}^4+C_5^5{.1}^5$

= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32.

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.