Theo dõi kết quả bán hàng trong một ngày của một cửa hàng , người ta nhận thấy:

+) Số tiền thu được vào buổi sáng nhiều hơn vào buổi chiều

+) Số tiền thu được vào buổi tối ít hơn vào buổi chiều.

So sánh số tiền thu được (đều là các số tự nhiên) của cửa hàng vào buổi sáng và buổi tối.

+ Ta đã biết tập các số tự nhiên được kí hiệu là N, nghĩa là N = {0; 1; 2; 3;...}. Mỗi phần tử 0; 1; 2; 3; … được biểu diễn bởi một điểm trên tia số gốc 0 như hình vẽ:

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, luôn có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số a nhỏ hơn số b thì trên tia số nằm ngang điểm a nằm bên trái điểm b. Khi đó, ta viết a < b hoặc b > a. Ta còn nói: điểm a nằm trước điểm b, hoặc điểm b nằm sau điểm a.

+ Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau, chẳng hạn 9 là số liền sau của 8 (còn 8 là số liền trước của 9). Hai số 8 và 9 là hai số tự nhiên liên tiếp.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu). Chẳng hạn a < 5 và 5 < 7 suy ra a < 7.

Ví dụ 1. Viết thêm các số liền trước và số liền sau của hai số 2 567 và 3 012 để được sáu số tự nhiên và sắp xếp sáu số đó theo thứ tự giảm dần.

Lời giải

Số liền trước 2 567 là: 2 566;

Số liền sau 2 567 là: 2 568;

Số liền trước 3 012 là: 3 011;

Số liền sau 3 012 là 3 013;

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần là: 3 013; 3 012; 3 011; 2 568; 2 567; 2 566.

+ Kí hiệu "≤ "  và "≥"

Ta còn dùng kí hiệu a ≤ b (đọc là “a nhỏ hơn hoặc bằng b”) để nói “a < b hoặc a = b”.

Ta còn dùng kí hiệu a ≥ b (đọc là “a lớn hơn hoặc bằng b”) để nói “a > b hoặc a = b”.

Tính chất bắc cầu còn có thể viết: nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c .

Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {x ∈ N* | x ≤ 14}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.

Lời giải

Các số tự nhiên khác không nhỏ hơn hoặc bằng 14 là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 12; 14.

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 12; 14} .

B. Bài tập

Bài 1. Điền các số thích hợp vào chỗ trống để được dãy các số tự nhiên liên tiếp:

a) …….; 102; ………;

b) 2 045; ………; ………;

c) ……; 17; …….; ………

Lời giải

a) Số liền trước của 102 là 101, số liền sau của 102 là 103. Nên ta có: 101; 102; 103.

b) Số liền sau của 2 045 là 2 046, số liền sau của 2 046 là 2 047. Nên ta có: 2 045; 2 046; 2 047.

c) Số liền trước của 17 là 16, số liền sau của 17 là 18, số liền sau của 18 là 19. Nên ta có: 16; 17; 18; 19.

Bài 2. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) M = {x ∈ N | 10 ≤ x ≤ 15} 

b) N = {x ∈ N* | x ≤ 3}  ;

c) L = {x ∈ N | x ≤ 3} .

Lời giải

a) Các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 10 nhỏ hơn 15 là: 10; 11; 12; 13; 14.

Theo cách liệt kê, ta viết: M = {10; 11; 12; 13; 14}.

b) Các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 3 là: 1; 2; 3.

Theo cách liệt kê, ta viết: N = N = {1; 2; 3} .

c) Các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 3 là: 0; 1; 2; 3.

Theo cách liệt kê, ta viết: L = {0; 1; 2; 3}..