Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc ABE bằng 30°. Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = AE. Vẽ điểm I sao cho FC là trung trực của EI. Số đo góc BFI là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Lại có AF = AE (giả thiết)

Suy ra tam giác AEF vuông cân tại A

Do đó \(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{AFE}}} = 45^\circ \)

Gọi K là giao điểm của FC và EI.

Vì FC là trung trực của EI nên FC ⊥ EI tại trung điểm K của EI.

Xét DBFK vuông tại K có \(\widehat {KBF} + \widehat {KFB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {KFB} = 90^\circ - \widehat {KBF} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {KFB} = \widehat {KFE} + \widehat {EFB}\) (hai góc kề nhau)

Suy ra \(\widehat {KFE} = \widehat {KFB} - \widehat {EFB} = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ \).

Vì FC là trung trực của EI nên FE = FI.

Dễ dàng chứng minh được DFEK = DFIK.

Do đó \(\widehat {EFK} = \widehat {IFK}\)

Mà \(\widehat {KFE} = 15^\circ \) nên \(\widehat {IFK} = 15^\circ \)

Ta có \(\widehat {BFI} = \widehat {BFK} + \widehat {KFI}\) (hai góc kề nhau)

Hay \(\widehat {BFI} = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ \).

Vậy ta chọn phương án C.