Cho tam giác ABC nhọn có BM và CN là hai đường cao. Trên tia đối của BM lấy P sao cho BP = AC, trên tia đối của CN lấy Q sao cho CQ = AB. Chọn khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì DABM vuông tại M nên nên \(\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì DACN vuông tại N nên nên \(\widehat {NAC} + \widehat {NCA} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = \widehat {NAC} + \widehat {NCA}\)

Do đó \(\widehat {MBA} = \widehat {NCA}\)        (1)

Ta có \(\widehat {PBA} + \widehat {MBA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

          \(\widehat {QCA} + \widehat {NCA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {PBA} + \widehat {MBA} = \widehat {QCA} + \widehat {NCA}\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {PBA} = \widehat {QCA}\)

Xét DABP và DQCA có

AB = CQ (giả thiết),

\(\widehat {PBA} = \widehat {ACQ}\) (chứng minh trên),

BP = AC (giả thiết)

Suy ra ΔABP = ∆QCA (c.g.c)

Do đó AP = AQ (hai cạnh tương ứng).

Vậy ta chọn phương án A.