Cho biết tan$\alpha$  = $\frac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức:  $M=\frac{{\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha }{27{\sin }^3\alpha -25{\cos }^3\alpha }$

3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có $\widehat{C}=\alpha$ .

Khi đó: $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$; $cos\alpha =\frac{AC}{BC}$; $\tan \alpha =\frac{AB}{AC}$; $\cot \alpha =\frac{AC}{AB}$ 

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có $\widehat{C}=\alpha$

Khi đó: $0<\sin \alpha =\frac{AB}{BC}<1$; $0<cos\alpha =\frac{AC}{BC}<1$; $\tan \alpha =\frac{AB}{AC}>0$; $\cot \alpha =\frac{AC}{AB}>0$  

Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh $\widehat{AMN}=\widehat{C}$.

Lời giải:

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên $AH\perp BC$ hay $AH\perp BH$ (1)

Mà MN là đường trung bình của ∆AMN nên:

+ AB = 2AM; AH = 2AN.

+ MN // BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra  (tính chất từ vuông góc đến song song).

Xét ∆AMN vuông tại N (vì $MN\perp BH$) nên: $\sin \widehat{AMN}=\frac{AN}{AM}$.

Xét ∆ACH vuông tại H nên: $\sin \widehat{C}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}=\frac{2AN}{2AM}=\frac{AN}{AM}$.

Ta thấy: $\sin \widehat{AMN}=\sin \widehat{C}=\frac{AN}{AM}$.

Do đó $\widehat{AMN}=\widehat{C}$ (đpcm).

4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=\alpha ;\widehat{C}=\beta$.

Khi đó, α + β = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).

Ta có: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 16, $\widehat{C}={30}^o$. Tính độ dài AB.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{C}=\frac{AB}{BC}$.

Hay $\sin {30}^o=\frac{AB}{16}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra $AB=\frac{16}{2}=8$.

Vậy AB = 8 (đvđd).

Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " ^ " đi.

Ví dụ 6. Góc A là góc nhọn thì ta viết sin A thay cho $\sin \widehat{A}$.