Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng AC BD. Khi đó để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì?
A. AC = AB
B. AC = BD
C. DB = AB
D. Không có đáp án nào đúng
Giải bởi Vietjack
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O)
Ta có = 90o, = 90o (góc nội tiếp chắn đường kính EC)
Từ đó ta có AE AC. Mặt khác theo giả thiết AC BD.
Kéo theo AE // BD. Vậy AEDB là hình thang
Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nó phải là hình thang cân
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân)
Từ đó ta có AB2 + CD2 = DE2 + DC2 = EC2 = (2a)2 = 4a2 (do EDC vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (AB2, BD2) ta có AB2 + BD2 2AB.CD
2(AB2 + BD2) AB2 + BD2 + 2AB.CD = (AB + CD)2
Kéo theo (AB + CD)2 2. (4a2) = 8a2 => AB + CD
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD
Xét tam giác ABI, DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn cung AD), (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Do đó ABI = DCI (g.c.g) Kéo theo AI = ID, IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD và AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là F và G. Khi đó, kết luận không đúng là:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = 45o. Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM, AN tương ứng tại các điểm P, Q. Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chọn câu sai:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắt tia CA tại H. Biết = 30o. Số đo là
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D BC, E AC, F AB) cắt nhau tại H. Khi đó ta có:
Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M OA (M O, A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Gọi H là giao điểm của AC và d, F là giao điểm của EH và đường tròn (O). Chọn khẳng định sai?
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và = (0o < < 90o). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Số đo góc là:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA. Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. Khẳng định nào đúng?
Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R. Đường thẳng qua O và vuông góc AB cắt cung AB tại C. Gọi E là trung điểm BC. AE cắt nửa đường tròn O tại F. Đường thẳng qua C và vuông góc AF tại G cắt AB tại H. Khi đó góc có số đo là:
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc . Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:
