Thu gọn biểu thức M = $\frac{4{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+5}{{\mathrm{x}}^3-1}-\frac{1-2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}-\frac{6}{\mathrm{x}-1}$ ta được?

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ta có thể viết: $\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}$ (A, B, C là các đa thức, đa thức C khác đa thức 0).

Ví dụ 1. Thực hiện phép cộng: $\frac{4x^2}{4x+2}+\frac{4x+1}{4x+2}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\frac{4x^2}{4x+2}+\frac{4x+1}{4x+2}$$=\frac{4x^2+4x+1}{4x+2}=\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{2\left(2x+1\right)}=\frac{2x+1}{2}$.

2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ta có thể viết: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A.D}{B.D}+\frac{C.B}{B.D}=\frac{AD+CB}{BD}$  (với A, B, C, D là các đa thức và B, D là đa thức khác đa thức 0).

Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức ấy. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 2. Thực hiện phép cộng: $\frac{5}{x^2+5x}+\frac{2}{2x+10}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $x^2 + 5x = x(x + 5)$

2x + 10 = 2(x + 5)

Suy ra mẫu thức chung là: 2x(x + 5).
Khi đó ta có:

$\frac{5}{x^2+5x}+\frac{2}{2x+10}$$=\frac{5}{x\left(x+5\right)}+\frac{2}{2\left(x+5\right)}$

$=\frac{5}{x\left(x+5\right)}+\frac{2}{2\left(x+5\right)}$

$=\frac{5.2+2x}{2x\left(x+5\right)}=\frac{2\left(5+x\right)}{2x\left(x+5\right)}=\frac{1}{x}$.

 Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

• Giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$ ;

• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$  .

Ví dụ 3. Thực hiện phép tính sau:

                                    $\frac{4x}{4x^2+4x+1}+\frac{x}{2x+1}+\frac{1-2x}{4x^2+4x+1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}$

$=\left(\frac{4x}{4x^2+4x+1}+\frac{1-2x}{4x^2+4x+1}\right)+\frac{x}{2x+1}$   (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\frac{4x+1-2x}{4x^2+4x+1}+\frac{x}{2x+1}$

$=\frac{2x+1}{{\left(2x+1\right)}^2}+\frac{x}{2x+1}$

$=\frac{1}{2x+1}+\frac{x}{2x+1}$

$=\frac{x+1}{2x+1}$.