Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{\text{x}+\text{4}}{\text{5}}-\text{x}+\text{5}<\frac{\text{x}+\text{3}}{\text{3}}-\frac{\text{x}-\text{2}}{\text{2}}$ là?

1. Bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x).

Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B(x) gọi là vế phải.

Ví dụ 1.

7x – 1 > 3x là bất phương trình với ẩn x;

2 – 6y = 3(y + 2) – 1 là bất phương trình với ẩn y;

2t – 9 = 2 + 5(t + 6) là bất phương trình với ẩn t.

- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

Ví dụ 2. Cho bất phương trình 4 + 3x > 2(x + 1) – 7         (1).

Với x = 1, ta có:

VT(1) = 4 + 3 . 1 = 7;

VP(1) = 2 . (1 + 1) – 7 = 2 . 2 – 7 = – 3.

Nhận thấy x = 1 thỏa mãn bất phương trình (1) nên x = 1 là nghiệm (hay nghiệm đúng) của bất phương trình (1).

2. Tập nghiệm của bất phương trình

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

- Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình x < −3 là tập hợp các số nhỏ hơn −3, tức là tập hợp {x | x < −3}.

Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 5 là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 5 tức là tập hợp {x | x ≥ 5}.

Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:

3. Bất phương trình tương đương

- Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

- Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu “$\iff$ ” (đọc là tương đương).

Ví dụ 5. Hai phương trình x – 4 > 0 và x > 4 được gọi là tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là {x | x > 4}. Khi đó ta viết: x – 4 > 0 $\iff$ x > 4.