Nghiệm của phương trình

$|x+\frac{1}{209}|+|x+\frac{2}{209}|+|x+\frac{3}{209}|+\mathrm{...}+|x+\frac{208}{209}|=209x$

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}akhia\ge 0;\\ -akhia<0.\end{array}\right.$

Ví dụ 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức sau:

a) A = | x – 5 | + x + 2 khi x ≥ 5.

b) B = 2x – 3 + | −3x | khi x > 0.

Lời giải:

a) Khi x ≥ 5 ta có x – 5 ≥ 0 nên | x – 5 | = x – 5.

Do đó A = | x – 5 | + x + 2 = x – 5 + x + 2 = 2x – 3.

b) Khi x > 0 ta có −3x < 0 nên | −3x | = −(− 3x) = 3x.

Do đó B = 2x – 3 + | − 3x | = 2x – 3 + 3x = 5x – 3.

2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình.

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét.

Bước 4: Kết luận nghiệm.

b) Một số dạng cơ bản

Dạng | A | = B

Cách 1: $\left|A\right|=B\iff \left\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ A=B\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}A<0\\ -A=B\end{array}\right.$

Cách 2: $\left|A\right|=B\iff \left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=-B\end{array}\right.$

Dạng | A | = | B | $\iff$ A = B hoặc A = − B.

Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

- Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.

- Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.

- Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó.

- Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Giải phương trình | 2x | = 3x + 8.

Lời giải:

Ta có | 2x | = 3x + 8.

+ Với x ≥ 0 ta có | 2x | = 2x

Khi đó, phương trình trở thành 2x = 3x + 8

$\iff$ 2x − 3x = 8

$\iff$ − x = 8

$\iff$ x = −8 (không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0).

Do đó x = −8 không phải là một nghiệm của phương trình đã cho.

+ Với x < 0 ta có | 2x | = −2x

Khi đó, phương trình trở thành −2x = 3x + 8

$\iff$ −2x − 3x = 8

 $\iff$−5x = 8

$\iff x=-\frac{8}{5}$  (thỏa mãn điều kiện x < 0).

Do đó $x=-\frac{8}{5}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\left\{-\frac{8}{5}\right\}$.