Dựng hình thang ABCD, biết ∠D = 90o, đáy CD = 3cm, cạnh bên AD = 2cm, cạnh bên BC = 3cm.

1. Bài toán dựng hình

Ta đã biết vẽ hình bằng nhiều dụng cụ: thước, compa, êke…. Ta xét các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa, chúng được gọi là các bài toán dựng hình.

Với thước, ta có thể:

+ Vẽ được một đường thẳng khi biết hai điểm của nó.

+ Vẽ được một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của nó.

+ Vẽ được một tia khi biết gốc và một điểm của tia.

Với compa, ta có thể vẽ được một đường tròn khi biết tâm và bán kính của nó.

Ví dụ: Vẽ đường tròn tâm I có bán kính 3 cm.

2. Các bài toán dựng hình đã biết

Chúng ta đã biết cách giải các bài toán dựng hình sau:

+ Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.

Ví dụ: Dựng đoạn thẳng CD bằng đoạn thẳng AB cho trước.

+ Dựng một góc bằng một góc cho trước.

Ví dụ: Dựng góc CID bằng số đo góc AOB cho trước.

+ Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của đoạn thẳng cho trước.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Dựng đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ Dựng tia phân giác của một góc cho trước.

Ví dụ: Dựng tia phân giác AC của góc AOB.

+ Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Ví dụ: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng BC. Dựng đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng BC.

+ Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

Ví dụ: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d, dựng đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d.

+ Các dạng dựng tam giác (biết ba cạnh, biết hai cạnh và góc xen giữa, một cạnh và hai góc kề).

3. Dựng hình thang

Ví dụ. Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 4 cm, đáy CD = 5 cm, cạnh bên AD = 3 cm,$\hat{D}=70°$ .

Hướng dẫn giải

a) Phân tích

Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tam giác ACD dựng được vì biết hai cạnh và góc xen giữa. Điểm B phải thỏa mãn hai điều kiện:

+ B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

+ B cách A một khoảng 4 cm nên nằm trên đường tròn tâm A bán kính 4 cm.

b) Cách dựng

+ Dựng ∆ACD có $\hat{D}=70°$ , CD = 5 cm, AD = 3 cm.

+ Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và điểm C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AD).

+ Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 4 cm. Kẻ đoạn thẳng BC.

c) Chứng minh

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.

Hình thang ABCD có AB = 4 cm, CD = 5 cm, AD = 3 cm,$\hat{D}=70°$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.