Cho các số: 8; 15; – 25; – 56; 0. Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được:

I. Tập hợp các số nguyên

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là .

Ví dụ: 

+ Các số nguyên dương: 4, 6, 10 000, … 

+ Tập hợp các số nguyên = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}

Chú ý:

+ Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

+ Các số nguyên dương 1, 2, 3,... đều mang dấu “+" nên còn được viết là + 1, + 2, + 3,...

II. Biểu diễn số nguyên trên trục số 

Ta có thể biểu diễn số nguyên trên trục số. Có hai loại trục số:

1. Trục số nằm ngang 

Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0.

2. Trục số thẳng đứng

Trên trục số thẳng đứng, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm phía dưới điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm phía trên điểm 0.

Chú ý: Khi nói “trục số” mà không nói gì thêm, ta hiểu là nói về trục số nằm ngang.

III. Số đối của một số nguyên 

+ Trên trục số, hai số nguyên (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của gốc 0 và cách đều gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

+ Số đối của 0 là 0.

Ví dụ: 

– 4 và 4 là hai số đối nhau.

– 4 là số đối của 4 và 4 là số đối của – 4.

IV. So sánh các số nguyên

1. So sánh hai số nguyên

+ Trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Trên trục số thẳng đứng, nếu điểm a nằm phía dưới điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Nếu a nhỏ hơn b thì ta viết là a < b hoặc b > a.

Ví dụ: 

Điểm – 10 nằm bến trái điểm – 5 nên – 10 < – 5 

Điểm 2 nằm bên phải điểm 0 nên 2 > 0.

Chú ý: 

+ Số nguyên dương luôn lớn hơn 0. Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c

Ví dụ: – 2 < 0 và 0 < 5 thì – 2 < 5. 

2. Cách so sánh hai số nguyên

2.1 So sánh hai số nguyên khác dấu

Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương. 

Ví dụ: – 7 là số nguyên âm và 5 là số nguyên dương nên – 7 < 5. 

2.2 So sánh hai số nguyên cùng dấu

+ So sánh hai số nguyên dương: Đã biết ở chương I.

+ So sánh hai số nguyên âm:

Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước cả hai số âm

Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (trước khi bỏ dấu “–”) sẽ lớn hơn. 

Ví dụ: So sánh – 216 và – 309.

Bỏ dấu “–” trước các số – 216 và – 309, ta được các số lần lượt là 216 và 309.

Do 216 < 309 nên – 216 > – 309.