Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC. Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M.
a) Chứng minh $PQ\text{//}BC$. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc $\widehat{ACQ},\widehat{ABQ}$.
c) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng O điểm cách đều điểm $A,B,P,Q,C$.

a) Chứng minh $PQ//BC$. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì ? Vì sao ?
Có P đối xứng với H qua BC nên BC là trung trực của PH
$\Rightarrow BC\perp PH$ tại D và D là trung điểm của PH

Có điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M nên là trung điểm của QH
Xét $\Delta HPQ$ có D là trung điểm của PH; M là trung điểm của QH
Nên MD là đường trung bình của $\Delta HPQ$
$DM\text{//}PQ$ hay $PQ\text{//}BC$
Tứ giác DMQP có $DM\text{//}PQ$
Nên tứ giác DMQP là hình thang $\left(DM//PQ\right)$
Mà $\widehat{PDM}={90}^0$ (do $BC\perp PH$ tại D)
Vậy tứ giác DMQP là hình thang vuông $\left(DM//PQ\right)$

b) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc $\widehat{ACQ},\widehat{ABQ}$
Xét tứ giác HCQB có HQ và BC cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường.
$\Rightarrow$Tứ giác HCQB là hình bình hành.
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}QC//BH\\ QB//CH\end{array}\right.$
Mà $\left\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ CH\perp AB\end{array}\right.$
Nên $\left\{\begin{array}{l}QC\perp AC\\ QB\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{ACQ}=90°\\ \widehat{ABQ}=90°\end{array}\right.$

c) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng O điểm cách đều điểm $A,B,P,Q,C$.
Gọi O' là trung điểm của AQ
Có $\Delta ABQ$ vuông tại (d0 )
Có BO' là trung tuyến
Nên $B{O}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AQ$
Chứng minh tương tự ta có $C{O}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AQ$
Mà $A{O}^{\text{'}}=O^{\text{'}}Q=\frac{1}{2}AQ$ (do O' là trung điểm của AQ)
$\Rightarrow A{O}^{\text{'}}=B{O}^{\text{'}}=C{O}^{\text{'}}$
$\Rightarrow O^{\text{'}}$là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta ABC$
Mà O là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta ABC$
$\Rightarrow O^{\text{'}}$ trùng với O.
Có $PQ\text{//}BC;BC\perp AP\Rightarrow PQ\perp AP$
$\Rightarrow \widehat{APQ}={90}^0$
$\Rightarrow \Delta APQ$ vuông tại P
Có PO là trung tuyến
Nên $PO=\frac{1}{2}AQ$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OP=OQ\left(=\frac{1}{2}AQ\right)$
Vậy điểm O cách đều 5 điểm $A,B,P,Q,C$.